I -hrfOp[(A:« — i)sin6-f-2A:cosO
ou bien, en développant et divisant par e-*^,
F' ^pî— :ir ^p ^0 -H c?02[p(i-hX:2)F'— 2aX:] = o.
Sachant que 8 ne figure pas explicitement dans Téqualion, il était loisible d'écrire le déterminant précédent en y faisant 8 = 0; on trouvait ainsi l'équation
2A:rfpé/0-f-p(A:« — i)rfe* p* i
2<:/p<fO -H2Â:p <i02 p o
F' fl^p2 a F'
d'où l'équation (3) se déduit immédiatement.
Quand F" est nul (F ^ 6p -h c), la surface est réglée; l'équation (3) donne 8 = 9© et
db
ia
dp p[b{i-^ k')p — '.>.ak]
Si b est nul, la surface est un hélicoïde gauche à plan directeur et les asjmptotiques sont les courbes 6 = 9© ei r= /'o (droites et hélices).
Un calcul pénible vérifierait de même que 8 ne figure pas dans le déterminant qui représente le premier membre de l'équation des lignes de courbure. Mais il nous suffit d'écrire ce déterminant en y faisant 8 = 0. On a ici
^M^ = ae*Ôsine-F'pe*ô(Â:sinO-f.cose)=M, D(p,e)
^//^ Zl = — ae*«cose-hF'pe^'0(A:cose — sinô)=P, D(p, 0)
Si l'on prend les différentielles totales de w, p, «^ en faisant ensuite 0 = o, et si l'on fait de même 0 = o dans Uy v^ çv, ainsi que dans
dx = e*9 cosO d^ -h pe^^[A-cosO — sinÔ]^0, ...,
l'équation des lignes de courbure s'écrit
dp -h k^ ^Ô — pF' (a — 2pÂ:F') rfS — ( F'-t- pF') dç>
pc/9 pÂ:F' — a (-.aA--hp(>t2— i)F')<ie-+-(F'-hpF")é/p
a<iô-hF'€ip p a/cpt/G-f-^p
Quand la surface est un hélicoïde [^" = 0, F^o], cette équation donne simplement rfô^ — dç^{^'-\- a^)=. o. Effectuons l'intégration; il vient, en désignant la constante par 8o)
ios.^±l5!±«! = ±(e 0o).
p -h /p2 -f- a-î = ae^^-^o) ;
CD en déduit
— p -h /p*-i-a=i = ae='=-^-^o), et p = - e*(^-^o) — e^C^-^o» ;
si l'on prend les signes supérieurs, on a les projections des lignes du premier système; les signes inférieurs donnent celles du second système. Toutes ces projections passent par le pôle, et onpeutles obtenir en faisant tourner autour de ce point la spirale unique ayant pour équation
La génératrice rectiligne en un point M de la surface est bissectrice de l'angle droit formé par les deux lignes de courbures; en effet, les cosinus directeurs de la tangente en M à une ligne quelconque L de la surface sont égaux à
dp cos9 — p sin8rf9 c^p sin6 H- pcos 6tf6 ad^
/(p«-+-a*)û?Ô*-h"3p« ' /(p«-t-aî)û?eî-Hû?p» ' /(p2-f-a»)c/02-4-6fp^ '
43o TROISIÈME PARTIE.
le cosinus de l'angle de cette direction et de la génératrice 8 = 80 est donc égal à , ^ et, si la
ligne L est ligne de courbure, cette dernière expression a pour valeur — • L'indicatrice de la surface est, d'après
cela, une hyperbole équilatère ; la surface est une surface minima. Il est facile, d'ailleurs, de calculer la valeur des rayons de courbure principaux : la normale en un point M de la surface, étant perpendiculaire à la génératrice rectiligne 9 = 0o> se projette sur le plan xOy suivant la perpendiculaire au rayon Om [m désigne la projection de M); elle est de plus normale à l'hélice r^=ro et fait, par suite, avec 0>5 un angle dont la tangente est égale
à -• Si en deux points infiniment voisins m, m^ de la projection d'une ligne de courbure, on mène les normales aux rayons vecteurs Om, 0/n', elles se coupent en p:h
distance jE7/n est égale »;75> ^^ *^ suffit dç multiplier par
— pour avoir le rayon de courbure principal ea M;
on trouve ainsi R| = , K2 = — ^^- -•
a Or
Problème n"" 79.
Lignes de courbure de la surface S
X = Cl—^ >. y =i o — ^ 9 z =i c
\3. " A-f-fJL A-|-|Jl
Cette surface S est un hyperboloïde à une nappe; les quadriques homofocales a S forment une famille de surfaces triplement orthogonales qui coupent S suivant ses lignes de courbure : la relation entre X, [a qui définit une ligne de courbure est donc algébrique et peut être obtenue à l'aide d'un calcul élémentaire.
