CX
Formons directement Téquation différentielle des lignes de courbure. Nous avons ici
^y __ è ( [X* -H I ) ày
àz ^ ic\>. ^^ __
5X ~ (X-+-{ji)»' âjl ~ (X-f-ii)2
Les cosinus directeurs de la normale sont proportionnels à
ôc(i-f-X[jt), ac(i — Xfjt), aô(X — fx), «
Prenons donc ces trois quantités pour valeurs de Uj v^ iv et écrivons l'équation des lignes de courbure
a(iJL^—'i)cD< -h a(X^ — i)d[JL 6c(T-hX[jt.) bc{'kdit.-\-^dl) — b(y.^-hi)dk — 6(X2-f-i)<i{jL ca(T— X[jl) — ca ( X <a?fji -+- jx <a?X ) 2c({jifl?X — Xdii) a&(X — fx) ab{d\ — d\L)
Pour développer ce déterminant, on peut remplacer la première ligne par la ligne obtenue en multipliant les éléments de la première et de la seconde par a et 6 et faisant la somme; dans le nouveau déterminant, la première ligne est
[(a*— 62)|xî— (a«-+-ô2)]c?X-H[(a«— ô«)]X« — (a2-+-6*)]cfîx, abc, o.
Un calcul tout élémentaire montre alors que l'équation précédente s'écrit (en divisant par abc qui entre en facteur)
si l'on pose
Cette équation est une équation d^Euler, c'est-à-dire une équation de la forme
dk __ rf|x
P4 désignant un polynôme du quatrième degré. D'après ce qui précède, l'intégrale de cette équation est algébrique; c'est là un résultat bien connu qui joue un rôle fondamental dans la théorie des fonctions elliptiques.
Problème n** 80.
Lignes de courbure de la surface enveloppe du plan mobile à deux paramètres
^z rrz u.r ->^ vy ->r w^ [ tv = / 1 -t- u^ -4- c^ | © ( c; )].
On montrera que les deux familles de lignes de courbure sont planes et Von déterminera ©(^), de façon que les plans des courbes de Vune des familles passent par une droite fixe.
Les coordonnées x^ y, z d'un point de la surface sont données par les égalités
(1) ly= -=:^- - o'(p),
Ces égalités s'écrivent encore, en appelant a, p, y les cosinus directeurs de la demi-normale qui fait avec Oz un angle aigu
(2) jr = a, r-^?'(^)=P» -5— [?(*')—«'?'(«')] = Y-
Si l'on coupe la surface par un plan :r = Xo le long de la section, on a aL = ±Q, Le plan coupe doue la surface sous un angle constant; les courbes planes a; = ^0 forment une première famille de lignes de courbure.
D'autre part, les équations (2) nous montrent que, le
long d'une ligne p = Po> les normales passent par le point fixe P,
Les lignes p = f^o sont donc des lignes de courbure de S; de plus, chacune d'elles est sur une sphère de centre P et de rayon égal à l'unité. Enfin, en éliminant w, c'est-à-dire
y/ 1 + w^ H- ç^^ entre les deux dernières équations (i), on voit qu'elle est aussi contenue dans le plan
La seconde famille est donc une famille de cercles dont les plans sont tous parallèles à l'axe Ox. Si ces plans passent par une droite fixe, cette droite est nécessairement parallèle à O^ (autrement les plans coïncideraient avec un plan fixe); pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit qu'on ait
PCH- 6-H o'(p)(i -4- pî) — i;<p(i;) = o,
6 et c étant deux constantes (coordonnées du pied de la droite fixe dans le planj^O^); autrement dit, <p doit vérifier l'équation difi'érentielle
, __ V cv -h b
équation linéaire qui s'intègre d'après la méthode classique; on pose ç = y/i -+- %*^àj et Ton trouve
par suite
I / \ — èp -f- c .
/i-hp*
et
T. — Ree. 28
Problème n* 81.
Lignes asymptotiques de la surface
Si l'on change u en i^i -^ c, on a
ar = a?i-f-c, y = ecyi, z = z^ — c,
transformation homographique qui conserve la surface. Les asymptotiques doivent donc être données par une quadrature de la forme (i^' = du¥{u).
Formons l'équation des asymptotiques. Il vient
— e-^du"^ — 2-f-e-'* I
e^^--**^{du^—idudt>-\-dv^) — e^v-u) ^v-u =0. e" du> e" — ï
OU bien [en divisant par e^*'""J( 2 — e^ — e""") qui est en facteur]
idudv — dv^ = o, c'est-à-dire v ^=^v^ et t>=:2M-f-a.
Telles sont les deux familles d'asympto tiques. Les asymptotiques (^ = i^o se projettent sur le plan des j^^ suivant une famille d'hyperboles, à savoir les hyperboles
Les asymptotiques (^ = 2 w + a se projettent sur le plan des xy suivant la famille d'hyperboles
xy — a^ 4- e* = 0.
Problème n"" 82.
Lignes de courbure des surfaces normales à une famille de plans P qui enveloppent un cylindre (surfaces moulures), ou à une famille de plans qui enveloppent un cône.
Soit S une de ces surfaces ; les sections C de S par les plans P forment une famille de lignes de courbures. Les trajectoires orthogonales G des courbes G constituent la seconde famille. Or les courbes G' sont normales à la fois en un de leurs points M à la tangente en M à G et à la normale à la surface droite du plan P; les courbes G' sont donc des trajectoires orthogonales de la famille de plans P (voirie problème n° 76), et, comme les plans P sont parallèles à une droite fixe O^, les courbes G' sont planes et leur plan est perpendiculaire à O^. Les lignes de courbure d'une surface S donnée sont donc ses intersections par les plans P d'une part, et par les plans parallèles à xOy d'autre part.
Considérons les projections C" des courbes G' sur le plan xOy; les courbes G" sont orthogonales aux traces des plans P sur ^Oj^, c'est-à-dire aux droites qui enveloppent la section droite du cylindre ; les courbes G" sont donc des développantes de cette section droite. Inversement d'ailleurs, toute développante d'une section droite quelconque du cylindre est une trajectoire orthogonale G' des plans P.
On connaît donc, à l'aide d'une simple quadrature (à savoir la quadrature qui donne l'arc de la section droite du cylindre), les trajectoires orthogonales G' des plans P. Gette même quadrature permet d'ailleurs d'obtenir toutes les surfaces S en question : il suffit de prendre une surface quelconque engendrée par les trajectoires G'.
Quand les plans P enveloppent un cône de sommet O, une trajectoire G' orthogonale aux sections p|[ahes G de S est normale, en chacun de ses points M, à la droite OM^ elle est donc située sur une sphère S de centre O. Les lignes de courbure d'une telle surface S donnée sont donc ses intersections par les plans P d'une part, et les sphères de centre O d'autre part.
436 thoisieme partie.
Chaque courbe C est orthogonale aux plans P; par suite, elle est normale aux grands cercles de 22 qui enveloppent la section Y du cône par la sphère S ; c'est une développante sphérique ( ^ ) de la courbe F. Il suffit donc, pour déterminer les trajectoires orthogonales des plans P, de calculer les développantes sphériques c' de la courbe y, intersection du cône donné avec la sphère de rayon i et de centre O, puis de prendre leurs homothétiques par rapport au point O. Ce calcul n'exige qu'une quadrature, à savoir la quadrature qui donne l'arc de y. Toutes les surfaces S s'obtiennent en engendrant une surface à l'aide d'une famille de courbes C^
La section de S par un des plans P est, dans les deux cas, une figure invariable, ainsi qu'on l'a montré dans le problème n° 76.
Problème n*" 83.
Surfaces normales à une famille de plans P ou engendrées par des trajectoires orthogonales à une famille de plans {surface de Monge).
Une première famille de lignes de courbure se compose des sections C de S par les plans P. La seconde famille comprend les trajectoires orthogonales aux courbes C. Ces trajectoires sont normales en chaque point M au plan P qui passe par ce point; elles sont donc aussi trajectoires orlhogonales du faisceau P. Inversement, toute* surface S formée de trajectoires orthogonales du faisceau P est orthogonale au plan à ce faisceau. Enfin, les sections C
(*) Étant donnée une courbe sphérique y, dont Tare compté à partir d'un point P est a, ses développante^ sphériques s'obtiennent en menant en chaque point M de y le grand cercle de la sphère tangent à y, et en prenant sur ce grand cercle un arc MM| de longueur 2, telle que la somme 9 + / soit constante. Le lieu des points M, est normal, en chaque point, au grand cercle MM,; c'est une développante sphérique de Y.
d'une surface S par les plans P sont de forme invariable. Ces propositions ont été établies dans le problème n° 76. Les surfaces de Monge sont donc engendrées par une courbe plane invariable C qui se déplace de façon que les vitesses de ses points soient normales à son plan. Inversement, toute surface qui admet un tel mode de génération est coupée orthogonalement par le plan P de C; car la normale en un point M à la surface est normale à la fois à la tangente en M de la courbe C et à la vitesse de déplacement du point M de C; elle est donc contenue dans le plan P.
De plus, les trajectoires des différents points de la courbe invariable G sont orthogonales aux plans P (Problème n° 76). Les lignes de courbure d'une surface S donnée sont donc ses intersections C par les plans P et les trajectoires des différents points de la courbe invariable C.
Une difficulté se présente toutefois quand la courbe solide plane G peut être déplacée d'une façon continue sans cesser de coïncider géométriquement avec elle-même, autrement dit quand G est une droite ou un cercfe. Étant données deux positions de G, soit G et G', et un point M sur G, on peut, dans ce cas, amener G à coïncider avec G' de façon que M coïncide avec un point arbitraire M' de G' ; mais la trajectoire MM' du point M une fois fixée, celle d'un point Mi quelconque de G l'est elle-même, et s'obtient en portant, à partir de M', le long de G', un arc M' M', constamment ég^l à MMi. D'après cela, la seconde famille de lignes de courbure peut toujours s'obtenir à l'aide d'une quadrature; en effet, rapportons un point de la surface S à deux coordonnées curvilignes a, ^, en choisissant, comme coordonnée ^, l'arc de G compté à partir d'une certaine ligne de S; si 3 = ©(a) est une des trajectoires orthogonales G' des courbes G, toutes les autres s'obtiennent en augmentant f d'une constante; les courbes G' sont donc
