ANALYTIQUES

Fonctions uniformes. — Soit P(^,j^) -h iÇl{oc^y) une expression uniforme dans une aire A du plan xO}\, c'est-à-dire une expression telle que P et Q n'aient qu'une détermination en un point quelconque (^,y) de A. Admettons, de plus, que les fonctions P et Q soiçnt continues et admettent des dérivées premières continues, sauf en des points exceptionnels de l'aire A. On dit que l'expression P -f- iQ définit une fonction analytique uniforme F(^) de la variable complexe s = ^ + iy, si P+iQ admet une dérivée par rapport à z, autrement dit si l'on a identiquement

dx dy ày dx .

Les points exceptionnels de A, pour lesquels les conditions précédentes ne sont pas toutes remplies, sont dits points singuliers de la fonction F(^). Quand de tels points n'existent pas, la fonction F(z) est dite holomorphe à l'intérieur de A.

L'intégrale fF(z)dZf étendue à un contour fermé à l'intérieur duquel la fonction F est holo morphe, est nulle

44o QUATaiÊME PARTIE.

{théorème fondamental de Cauchy). Toute fonction holomorphe à Tintérieur d'un cercle de centre ^o est développable dans ce cercle en série de Tajlor

Un point singulier Mo ou z^ de F(z) est dit isolé si l'on peut décrire, de Mo comme centre, un cercle c de rayon assez petit pour qu'à l'intérieur de c il n'existe d'autre point singulier de F que Mo. Tout point singulier isolé Zq d'une fonction uniforme F(z) est un pôle ou un

point essentiel, suivant que p . tend ou non vers zéro,

quand z tend vers zéro d'une façon quelconque : à l'intérieur d'un certain cercle de centre z^ la fonction F(z) est développable en une série de Laurent procédant suivant les puissances croissantes et décroissantes de z — Zq. Quand Zq est un pôle, le développement suivant les

puissances négatives s'arrête après un terme en - — — — - ,

la fonction [z — ZqY¥(z) est holomorphe pour zz=Zq Qi l'entier n est V ordre du pAle. Quand Zq est un point e55e/itiel, les puissances négatives croissent au delà de toute limite; la fonction F(z) est complètement indéterminée dans le voisinage de z=^ z^.

Le résidu d'un point singulier isolé Mq est, par définition, l'intégrale définie—;— j ¥{z)dzy prise dans le sens

direct, c désignant un cercle de rayon très petit et de centre Zq.

Le résidu est encore égal au coefficient du terme

en dans la série de Laurent relative au point Zq.

Quand z^ est un pôle d'ordre n, le résidu est donné par l'expression

au contraire, quand Zq est un point essentiel, il est, en général, impossible de calculer son résidu à l'aide d'opérations élémentaires.

Lorsqu'un contour fermé C contient à son intérieur plusieurs points singuliers M^ , . . . , Mp, l'intégrale