f¥(z)dz

est égale à la somme des résidus de Mi, . . . , Mp,

Si l'aire A est l'aire extérieure à un contour fermé, la

transformation z = = ramène ce cas au cas d'une aire

intérieure à un contour fermé. Le point z = co est dit point singulier isolé de la /onction F(^), si à l'extérieur d'un cercle C de centre O et de rayon suffisamment grand, il n'existe aucun point singulier de F à distance finie : le résidu du point z = oo est alors égal, par définition, à

l'intégrale -V- / F{z)dz prise dans le sens inverse, ou, si l'on veut encore, au résidu pour Ç = o de la fonction

Fonctions multiformes, — Quand l'expression

est multiforme dans l'aire A, c'ést-à-dire admet dans cette aire plus d'une détermination, on dit qu'elle définit une fonction analytique multiforme de 5, soit F(^), si ses diverses branches sont autant de fonctions holomorphes de Zy sauf pour des points exceptionnels de A.

Considérons tous les points de A pour lesquels deux déterminations de F(>s) coïncideiit ou qui sont points de discontinuité pour une détermination au moins de F(z) ou de sa dérivée. Bornons-nous au cas où ces points sont des

points isolés M{. Si, parlant d'un point Mo très voisin de M| avec une certaine détermination de F(^), on revient au point Mo (après avoir tourné autour de M{) avec une valeur différente de F(j5), on dit que M/ est un point critique de F(j5). Si, au contraire, quelle que soit la détermination initiale de F (^), on revient au point Mo avec la même valeur de F, on dit que les différentes déterminations de F(^) sont uniformes dans le domaine du point M/; dans ce dernier cas, quand M/ est une discontinuité pour une branche F,(5) de F(^), M/ est un pôle ou un point essentiel de Fi(5).

On dit que les différentes branches de F (2) sont uniformes à V intérieur de Vaire A, si tout chemin fermé décrit à l'intérieur de A ramène au point de départ avec la même détermination de F(a), et cela quelle que soit la détermination initiale choisie pour F {£), Quand l'aire A est l'aire intérieure à un contour fermé simple, pour que les branches de F(^) soient uniformes dans A, il faut et il suffit qu'il n'existe aucun point critique à l'intérieur de A.

On dit que z =iCO est ou n'est pas un point critique de F(z) quand Ç = o est ou n'est pas un point critique de

la fonction Ff - j. Pour que z = oo ne soit pas un point

critique de F{z)j il faut et il suffit que dans l'aire A, extérieure à un cercle de centre O et de rayon suffisamment grand, les branches de F(^) soient uniformes. Par exemple, z = QO est un point critique de log^ et n'est pas un point

critique de log ^

Quand, décrivant un contour fermé (*) C à partir d'un point quelconque Mo de G, on revient au point Mo avec

{*) On suppose que ce contour ne passe par aucun point singulier deF(«).

la même valeur de F(^), l'intégrale / F(z)dz (prise

dans le sens direct) a une valeur déterminée, indépendante du point de départ Mo. Elle dépend, au contraire, du point de départ quand on revient au point Mq avec une autre valeur de F(z); mais si, gardant toujours le même point de départ Mo, on déforme le contour C sans rencontrer aucune singularité de F(z), l'intégrale / F(z)dz ne

change pas de valeur.

Remarque, — Une remarque souvent utile est la suivante : soit M| un point singulier de F(z), et c ou MoM| un arc de cercle décrit de M/ comme centre et dont on fait tendre le rayon r vers zéro. Considérons l'intégrale

j= f F{z)dz,

• Mo M,

Fi{z) désignant une certaine détermination de F(z), et supposons que la fonction (z — Zi)Fi(z) tende vers zéro avec z — Zi] l'intégrale j tend vers zéro avec r. Il suffit, pour le voir, de poser z = pe'®; on a \j |y < 27rA, A désignant le module maximum le long de c de (^ — zi) F| (^), module qui tend vers zéro avec r. Cette remarque s'applique si Fï(z) est infini d'ordre a<;i pour 2 = s/. De même, soit F(^) = log^, et soit c un arc de cercle décrit du point O comme centre dans le quadrant positif a: O^; partons du point réel de c avec la valeur réelle de log r et

considérons l'intégrale / log-srf^; cette intégrale tend

vers zéro avec r.