A OB

à O^, située au-dessus de O^ à une distance R de cet axe qui soit très grande ; menons de même deux parallèles AA', BB' à l'axe des j^, situées à la distance R de cet axe; enfin traçons un demi-cercle acb de centre O et de rajon r très petit. La fonction F(z) est holomorphe à l'intérieur du contour (aAA'B'Bèca) ainsi défini, et le théorème de Cauchy appliqué à ce contour donne

r^co^x-\-is\x\x , r^e'^e-yjdy r~^e'^e-^dx

Jr^e-'^e-yidv r'~''(cosx-^ is'mx)dx C e^- . f p . . — - -*- ; ^^ ' h / —dz-o.

EXERCICES sua LÀ THÉORIE DES FONCTIONS. 44^

Quand on fait croître R indéfiniment, les trois intégrales étendues aux côtés AA', A'B', B'B tendent vers zéro : en effet, l'intégrale

e^'e-^dx

est moindre, en module, que l'intégrale

c'est-à-dire moindref que ae"^; d'autre part, l'intégrale

^ei^e-yidy

est moindre en module que

donc moindre que ^ > et, pour la même raison, l'intégrale

étendue à B'B tend vers zéro avec ^*

Calculons maintenant la limite vers laquelle tend l'intégrale étendue à bca quand r tend vers zéro ; nous avons

a restant fini quand z tend vers zéro; l'intégrale étendue à bca peut donc s'écrire

Jf h / a dz, bca ^ Jb

et la dernière partie tend vers zéro avec /•; quant à la première partie, si l'on pose z = re'^y on voit qu'elle est égale

/o i rfO, c'est-à-dire à — in.

Enfin la somme des deux intégrales relatives aux côtés aAetB6, se réduit (les parties réelles se détruisant) à l'intégrale

f (tx.

En définitive, Tégalité (i) est de la forme

(2) 21 I aa7 = iirH-e,

e tendant vers zéro en mêipe temps que r et -5 • Cette égalité montre d'abord que l'intégrale

tend vers une limite quand r et R tendent, le premier vers zéro, le second vers -f- 00, ensuite que cette limite est égale

à - • On a donc bien

r sin:

%\x\x , ir ax = —•

Problème n** 3.

Montrer que les valeurs des deux intégrales définies

/* cosa? — e-^ ,

'* cosa7*-4- sina^' — i

sont nulles.

Pour calculer la première intégrale, partons encore de la fonction

et considérons, dans le plan des xy {Jig* 67), un carré OA A'B, de côté R, construit sur O :r et Oy ; traçons de plus, du point O comme centre, avec un rayon très petit r, un arc de cercle ab dans le quadrant xOy, La fonction F(^) est holomorphe à l'intérieur du contour aAA'Bèa, auquel on peut appliquer le théorème de Cauchy. Si l'on observe que les intégrales étendues à AA' et à A'B tendent

Fig. 67.

Cl/ i

vers zéro avec ^ (Problème 2), et que l'intégrale étendue

à ba tend vers — i - quand r tend vers zéro, il vient

5 d.^J^—dy=.-^e,

e tendant vers zéro avec r et 5-, ou bien

lim pour

MX =

r'^cosa:

,. r = O j r sina?

lim pour T^ de /

•^ R = oo J^ ^

dx = o,

On arrive ainsi à la première égalité qu'il s'agit de démontrer en même temps qu'à celle du problème % :

Jr" cosa?— c-^ V /""sina? tc f rfa? = o, / • = -

Pour calculer la seconde intégrale

/* CQs(a?')4-sin(a?»)— f ^^

on part de la fonction

Cette fonction est holomorphe à l'origine , d'après le développement de e'^*. Appliquons le théorème de Cauchy

au carré OA A'B A. L'intégrale / F(^) dz, étendue à AA', tend vers zéro avec ^> car cette intégrale

est moindre en module que l'intégrale

donc moindre que -jr» L'intégrale étendue à A' B, c'està-dire

est aussi moindre en module que ^- On a donc

o = lim pour R = oo de /

cosir*-f- tsina?* — i

-4- lim pour R = oc de I — ~ i dy^

ou bien

/*cosa?*-4-8Înar* — i , j dxsso C.Q.F.D.

Problème n"" 4.

La constante d\Euler C est définie par V intégrale

X \I-+-^ ^ 7 ar~'

montrer qu^elle est aussi égale à Vintégrale

Partons de la fonction

Jf ( r — COS X ) dx.

Cette fonction est holomorphe à l'origine, car ; — e~^

est développable suivant les puissances de z et contient z en facteur. Appliquons le théorème deCauchj au contour OAA'BO du problème précédent.

Quand R croît indéfiniment, l'intégrale étendue à AA',

tend vers zéro, car elle est moindre en module que

c'est-à-dire que^-hc"^*. De même, l'intégrale étendue à A'B,

; î r=^ ( î r^ e-a-e-/l5 \ dx

est moindre en module que

T. — Rec. î>.9

45o QUATRIÈME PARTIE.

donc moindre qiie^» et tend vers zéro avec -g- D'après cela, on peut écrire

£ tendant vers zéro quand R tend vers H- oo. La première

intégrale est réelle et a pour limite la constante d'Euler C; de là les deux égalités

dx cosa^ ) — >

C X . \dx

I ( . — sina? ) — = o.

/ V i-f- rr2 / X '

r sin.r , r dx n« ^

/ dx — I . =(arc tangir)!?= -

La première est l'égalité à démontrer; la seconde donne

dx ax — I

égalité déjà établie.

Problème n"" 5.

Montrer que les intégrales

/co?>x^ dx^ I sxnx^dx

sont égales à -i/- •

Partons de la fonction F(^)= e~*", et considérons dans le plan des xy (Jlg- 68) le contour formé par le segment 0A = R de Taxe des x, un segment AB parallèle à 0/, et la bissectrice BO de l'angle xOy, Le théorème de Cauchy donne

f e-^' dx-h f e- <«;-J ') e '^i^r idy-+- f e-'P' (l±i> dp = o.

QaandR croît indéfiniment, l'intégrale étendue au côté AB tend vers zéro. Le module de cette intégrale est moindre, en effet, que

j= f e-'^'-y') dy ;

pour étudier cette dernière intégrale, posons

et décomposons l'intervalle o^ ^R en deux parties o^ ^r et r^" ^R. On a

le coefficient de dy est moindre que l'unité dans ces inlé-

Fis:. 68.

grales : l'intégrale 72 est donc moindre que R — r ou a, et tend vers zéro avec ^ • Quant ày'i, on peut l'écrire

d'où l'inégalité

ji= H2 " R '

quand R croît indéfiniment, a tend vers zéro, et par suite yV L'intégraley tend donc aussi vers zéro.

Ceci posé, on peut écrire

^R lim pour R = oo de / e-^* dx

/^^ (i I i)d2 (cosp* — tsînp*) ^^ r= '

ou bien

Jr* /*• . do

f e-^*dx=\ (co8p«H- sinp*)--b

Jf (cosp*— sinp*) c?p = o;

rinlcgrale / e"'* dx est égale {voir p. 207) à ^ y/ic; on a

donc

/co^.t^ dx =■ I sinx* dx ^= -i/ - c.q.f.d.

Problème n° 6.

Calculer les intégrales

où m et a sont réels.

Partons de la fonction F(^)= -^ -^ et intégrous-Ia

( fig. 69) le long du contour rectangulaire (BAA'B'BA), où 0A= OB = AA'=: R. On voit, comme dans le problème 2, que les intégrales étendues aux côtés AA', A'B', B'B, tendent vers zéro, quand R croît indéfiniment. Mais ici la fonction F(^) n'est pas holomorphe à l'intérieur du rectangle ; elle y admet un pôle simple z = ai^ dont le résidu est donné par la limite, pour z = a/, du produit

(z — ai)¥{z), limite qui est égale à

»—ma

D'après le

ihéorème de Cauchy, ce résidu est égal à l'intégrale

fF(z)dz,

étendue au contour du rectangle et divisée par 2 «it. On a donc

Fi g. 69.

A ay

€ tendant vers zéro avec i^; ou bien (en observant que la

xcosmx

nction — T r- est impaire et la fonction — ^ r- paire l

I /^ .rsin/na? , i

- I --rta: -H s = - <?-"*«,

it J a?* -H «2 2

ou enfin

- dx = - e-'"«.

ar^-h a^ 2

>/nz/

En intégrant la fonction F(-s)= -^ ;> le long du

même contour, on trouve de même

■ p i r cosmx

tsinma: , , 1 e~^^ ax -h 6 = r- )

2 ai

t' tendant vers zéro avec g> el, par suite,

•^ / -î i aa? -+- 6 = r

OU enfîn

—- rta: =

Problème n** 7.

Valeur de l'intégrale

sina*

ic(a:' -t-a2)

.: ûtr.

Intégrons la fonction

mtz

z(z»-ha*)«

le long du contour (aAA'B'Bèca) introduit dans le problème 2. Les intégrales étendues aux côtés AA', A'B', B'B(yî^. 70) tendent vers zéro quand R croît indéfiniment;

l'intégrale / F (z) dz tend vers — i — quand r tend vers

J bcci ^

zéro on a, en effet, F= -f — j-f-zAj \* Enfin, la fonction F possède, à l'intérieur du rectangle, un pôle double

EXERCICES SUR Ll THÉORIE DES FONCTIONS. 4^5

z = ai: pour calculer le résidu de ce pôle, développons

la fonction Fi= — rr« <?'"'^ suivant les puissances crois

santés de z = ai; la dérivée première de F4 , pour z = ai < a comme valeur — -, — -— l m -\ —

Le théorème de Cauchy conduit donc ici à Tégalilé

r"*" (cosmx -h is'inmx) , . ir . e-'«« / aX I — z rr; dx — i— --+-£= — 217CX -: — r- ( m H )

e tendant vers zéro avec -^y d'où la relation

Je s\ïimx . t Tz Vi / \ ni 1

OU encore

'* s'innixdx , tt e~"^^ /m

sinnixdx , tt e~"^^ / m j

— ; — i: TT dx = r r 1 1

x^x^-ha^) 2a* '20^ \2 a

Problème n" 8.

Établir Inégalité

Jr"^ %\tïx dx ^ /* * e-«^ f/vc [j x^a ^ Jl TH-a^î '

a étant un nombre réel et positif.

Nous ne pouvons plus calculer l'intégrale / — ^— ï

à l'aide du procédé précédent, parce que le coefficient de sxnxdx n'est pas une fonction impaire.

Partons de la fonction F(^)== , et choisissons

comme contour d'intégration le périmètre du carré OkM^O{fig. 71).

On voit, comme plus haut, que les intégrales Y F a<5,

ëiendues aux côtés A A'. A'B, tendent vers zéro avec gj et

Fig. 71.

le théorème de Cauchj s*écrit

cosar

t siDO? , C e-y . , dx-i- I idy = e.

g tendant vers zéro avec g; d'où les deux égalités

r* 9,'u)x Z' e-ygdy Ç e-

e-«* fl?-s

Problème n* 9.

Problème VIII. — Valeur de l'intégrale

îi:

cosa? -+- a

(a étant réel et plus grand que i). *

On sait que cos^ est égal à ; posons e'^=^ u\

quand x varie de o à 271, le point u décrit dans son plan une circonférence C ayant l'origine pour centre et de rayon égal à 1 . L'intégrale cherchée est donc égale à

2 /* du

i Je M*-i-2aM-hi

Des deux racines de m^ -h 2aM + i, «ne seule,

M = — a -h ya^ — i

est de module moindre que i , et le résidu correspondant à cette racine est ; d'où l'on conclut

Problème n" 10.

Valeur de V intégrale

^ r"" xdx

J^ sin*(a: — a)'

OÙ a est un nombre complexe p + iq* En déduire la valeur de Vin tégrale 1 xcot(x — a)dx. Si l'on pose

u = e«*(x-a), rr = a H Aoqu,

on a

Quand la variable ^ croît de o à it, le point m = {> -^ iw part du point A dont l'affixe est e~^"*, et décrit un cercle C {Jig. 72) ajant l'origine pour centre et passant par A.

L'intégrale / -^-^ — — — r est donc égale à l'intégrale

qu'on étend au cercle C dans le sens direct, en partant du point A as^ec la valeur — 2 «a de logw (* ).

Supposons d'abord y < o ; le rayon de C est alors moindre que i, car le module de A est égal à e^^. Ceci posé, prenons sur C, de part et d'autre de A, deux points

A', A" très voisins, et traçons un Jacet A' /?? A'' entoura ni l'origine; les intégrales