A'AIA
)du
et
J2= / G{u)du
«- A'/nA"
ont même valeur, car la fonction G (a) est holomorphe entre ces deux chemins A'MA" et A' m A". Faisons tendre A' et A'' vers A, et réduisons le lacet A' m A" au segment AO, parcouru d'abord dans le sens AO, puis dans le sens OA après qu'on a tourné autour de Torigine : J| a pour limite J;
quant à J2, si l'on observe que G{u) augmente de
quand u tourne autour de l'origine (dans le sens direct),
{* ) Il est indispensable de fixer le point dont on part, parce que G{u) n'est pas uniforme et que la valeur de l'intégrale étendue à C dépend de l'origine de l'intégration.
on voit que sa limite est
/* 2ia-f- Io2:m , r lia -{'\ogu -h lÎTz
2 1 ir A
A désignant Taftixe du point A ou e~^^^.
Dans l'hypothèse y < o, l'intégrale cherchée J a donc
pour valeur -rj-
Quand q est positif, la fonction G{u) admet le pôle double 11 = i entre les deux chemins A' M A'' et A' m A". Le résidu de ce pôle est donné par la valeur de la dérivée de (2 «a 4- logw) pour ii = i; ce résidu est égal à i. On a, par suite,
Jl — Jî = 2*11,
et l'intégrale cherchée
'~ J^ sin*(a7 — a)
2 ÏTT A • I
est ésrale à 2i7:H r-^ c'est-à-dire 2.in -7-» résul-
tat qui pourrait se réduire immédiatement du premier, en observant que les valeurs de J qui correspondent à deux valeurs de a imaginaires conjuguées, doivent être imaginaires conjuguées.
Pour gr = o, l'intégrale J n'a plus de sens. Quand q tend
vers zéro Ip restant fixe), J tend vers —-, ■
ou vers la valeur conjuguée, suivant que q tend vers zéro ♦par valeurs positives ou négatives. L'axe réel est une ligne de discontinuité de la fonction J(a),
Si l'on essaye d'appliquer le même procédé à l'inté-
grale 1 x cot(^ — a) dx^ on est amené à calculer l'in-
46o QUATRIÈME PARTIE.
tégrale
et la singularité i/ = o(pôle et point critique transcendant) ne permet pas de répéter ce qui précède. Mais
f X cot(jj — a) ou
K(a) a précisément pour dérivée, par rapport à a, l'inté-
f'^ xdx
K(a)=2ïTc C -^ r-C.
Cette derrière intégrale s'effectue en posant e^ia-— ^^ ^^
il vient
K(a) = 7clog(i — ô-»'«)-hG.
Avant de fixer la constante, observons que tous les points critiques de la fonction log(i — ^"^«a^ sont les points réels a = mz (n désignant un entier positif, négatif ou nul); pour q négatif et très grand, les diverses déterminations du logarithme sont sensiblement égales à o, db 2i7t, . . .; adoptons la détermination log(a), qui s'annule pour q=z co; la fonction log(a) est une fonclion holomorphe dans tout le demi-plan inférieur des a. Ceci posé, pour q négatif et très grand, cot(a? • — a) diffère peu de — t, puisqu'on a
cot(a7 — a) = i ^2/u-a) , = * g2g e^iix-p) , î
quand q tend vers — oo, K(a) tend donc vers — «it; d'où • l'égalité
K(a) = 7clog(a) — iir = ir[log(i — e-**«) — i]
pour q<Co, On trouverait de même pour q'^o, en adoptant dans le demi-plan supérieur la détermination du
logarithme qui tend vers tit quand q lend vers -f-oo, K(a)= ir[log(e2^«— I) -f- i{.i-i^% {q > o);
si, dans les deux formules, on donne à a des valeurs imaginaires conjuguées, les deux valeurs correspondantes de R sont bien imaginaires conjuguées.
Problème n'' il.
Résidus pour z = o et z = co de la fonctionF (z) = - (^o à n est un entier positif ).
Cherchons le coefficient du terme en - dans le déve-
loppement de F(z) en série de Laurent. Nous avons
Le premier développement converge (absolument) dans tout le plan, sauf pour ^ = o; le second développement converge (absolument) à l'intéMCur du cercle de rajon i. Si nous faisons le produit des deux développements, en appliquant la règle de la multiplication des séries, et si nous multiplions ensuite par z", le nouveau développement sera une série de Laurent convergente à l'intérieur du cercle de rayon i , sauf à l'origine, et celte série représente F (z) : le coefficient A du terme en - est le résidu de F pour z = o.
Le coefficient A est le coefficient de —^^ dans le produit des séries (i) et (2). On a donc
A = r rr — z rr -f-
(n-hi)! (/n-2)! (71 + 3)! (/i + 4)î
c'est-à-dire
A = -1 + ô7 — 77 + • • •-• i » SI /i est impair,
et
