I III I

A= hi 1 r-r-h...H r> si/icst paip ;

en particulier, pour /i = i , A est égal à -> et pour /i = o,

A est éffal à i •

Cherchons le résidu du point z = co', posons pour cela

z=^ ^; la fonction F devient F, = yj^zrrFzrr^* <îévelop-

pons F| suivant les puissances croissantes de ^, la première puissance étant ^^^~~"^\ le coefficient de (^ dans ce développement, changé de signe, est égal au résidu B cherché (*). Or on a

et il suffit de calculer le coefficient de Ç'* dans le produit des séries (i)' et (a/ pour avoir — B^ il vient ainsi

On aurait pu calculer d'abord le résidu B de ^ = go, qui est un pôle, et en déduire le résidu du point essentiel z=o, en exprimant que la somme des résidus de F{z) est nulle. En outre des points 2 = o, ^ =: 00, la fonction F(^) admet le pôle z = — i, dont le résidu est évidem-

(*) En effet, Best le résidu pour Ç = o de la fonction — 7;Pj(0 (voir p. 440»

ment e~^ X ( — i)". On a donc

ou bien

valeur qui coïncide bien avec la valeur trouvée directement.

Si n était un entier négatif (n = — /?), le résidu du point .s ==00 serait nul, et on aurait simplement

ou

Problème n"" 12.

Conditions pour que l^ intégrale

z j il(sin2,

cosz) dz

(où R désigne une fraction rationnelle en sinz et cosz) soit une fonction uniforme et périodique de z. Application à r intégrale

C ( a -}- 6cos3 c ,\ ,

J = / ( . 1- - hd) dz.

J \ smz sin^z /

La fonction R(sin S, cosz) est une fonction uniforme de z qui admet la période ait; mais elle peut, pour certaines formes de R, admettre une période inférieure -.^ >

où k est un entier positif; soit donc to = -7^ la plus petite

/^z période de R; si l'on pose t = tang —y R est une fraction

rationnelle en t; ou bien encore, si l'on prend comme

variable u = c'*', R est une fraction rationnelle en u, soil

Quand l'intégrale J(z) est uniforme et périodique, je dis qu'elle admet précisément comme période o). En effet, J(z) ne peut admettre une période plus petite co', car l'égalité

entraîne l'égalité

-—-2=.—-J, ou R(z-f.a>)=R(;.).

D'après cette égalité, toute période co' de J(-s) est de la forme m(ù^ m étant un entier ; or la différence

dont la dérivée est nulle, est une constante a, et de l'égalité

J(5 -h a>) — J(^) = a, on déduit aussitôt

J(z-f-2w) — J(>8) = 2a..., J(z-4-/nw) — J(z) = ma:

a doit donc être nul, si i{z) admet la période mw, et la plus petite période de J(^) est o).

Toutes les valeurs de z qui correspondent à une valeur de u (d'après l'égalité m = e'*«) ne diffèrent que par un multiple de (o. Dans Thypo thèse où J(^) est une fonction uniforme et périodique de 3, J(«) est donc une fonction uniforme i{ de m, puisque toutes les valeurs de z qui correspondent à une valeur de u donnent à J la même valeur. D'autre part, on a

du dz du ^ du iku L'intégrale de la fraction rationnelle -rr — ^ ne peut être

EXERCICES SUR LA THl^ORTE DES FONCTIONS. 4^3

uniforme que si tous ses résidus sont nuls, et, dans ce cas, cette intégrale est une fraclion rationnelle en u. D'où la conclusion suivante : Quand J(^) est une fonction uniforme et périodique de z, c^est une fraction rationnelle en ^'*^, et, pour quHl en soit ainsi^ il faut et

il suffit que tous les résidus de la fraction — — - soient

nuls.

Appliquons ce résultat à l'exemple

La fonction R a pour période 2 7t ; posons donc €'* = u\

on a

Ri(m) __ lia ib(u^-+-i) 8 icu^ ' d

^'^ M~" "~ w2 — i "^ ii{iC^—\) "" (a-^ — I)» "^ â *

Pour que le résidu de m = o soit nul, il faut qu'on ait

(2) ih-\-d=io\

quant au point m==i, pôle simple des deux premières fractions du second membre de (i) et pôle triple de la troisième, son résidu A s'obtient immédiatement dès qu'on a calculé la valeur pour m = i de la dérivée seconde de

l'expression -y valeur qui est égale à — -; on

(a -+- 1) trouve ainsi

A = la -h lu -^ 9

et ce résidu doit être nul. On trouve de môme, pour le résidu A| de M = — i.

A* ,y fcC 1= — ia-\- 10

En définitive, pour que l'intégrale

r/a-+- b c.osz c ,\ ,

I , 1- «__^ -^-d) dz

J \ sin« sm'^ /

T. — Rec, 3o

soit uniforme et périodique, ii faut et il suftit que b eld soient nuls, et que c soit égal à — 2 a. Il est aisé de vérifier cette conclusion en calculant l'intégrale

J = / ( -J ^^ ) dz ;

J \sinz sixi^zj

on trouve