^ COS.S

Problème n"" 13.

La fonction u{z) désignant la fonction doublement périodique qui vérifie l'égalité

r" du

trousser les valeurs de la constante m pour lesquelles Vexpression

1/ \ "* f dz f H(z)dS

est une fonction holomorphe de z.

On sait que toute fonction u{z)^ définie par Tégalité

où P(w) est un polynôme du quatrième ou du troisième degré à racines distinctes, est une fonction uniforme doublement périodique, qui n'admet dans le parallélogramme des périodes que deux pôles simples ou confondus : quand les deux pôles sont confondus, le pôle unique est un pôle double dont le résidu est nul. Je rappelle ce théorème que, si P(^) est du troisième degré, on est précisément dans le cas d'un pôle double. En effet, quand le pôle a

EXEKGICES SUR LA THÉOIVIE DES FOKCTIOWS. 4^7

est simple, on a, en faisant u= ->

t? = A(4î— a)-hB(^ — a)2-l-... (A^éo),

et la dérivée -j- n'est pas nulle pour .s == a. Au contraire, si le pôle est double, on a

et -j- s'annule en a. Or dans le cas où P(^) est du troisième degré, la fonction v{z) vérifie, d'après l'égalité (i), la relation

si, pour z = a, ç' est nul, -r- est nul également. Ceci posé, la fonction

qu'il s'agit d'étudier, ne saurait avoir d'autre singularilé, dans chaque parallélogramme des périodes, que le pôle double a dont le résidu est nul. Écrivons donc

Il vient

/ u{z)dz= - — 5L + " -hP(4J — Zo)-+-...,

/ Z — CL Zq—-CI

et

I dz I u{z)dz =. — alog(>5 — ût) H-<p(.5),

^{z) étant une fonction holomorphe de z dans le voisinage de a; la fonction J est donc (dans le voisinage de a)

de la forme

—ma

P(z) étant holomorphe dans le domaine de ^ = a. Pour que }(z) soit holomorphe pour z = a^ il faut donc et il suffit que — ma soit un entier positif A:; d'autre part, si

l on pose M = — > on a

6 tendant vers zéro quand z tend vers a; mais l'égalité (i) montre qu'on a aussi

(ilV

TU

/ A -+- B w* H- G cv^ 4- I)w6 ;

quand w tend vers zéro -. tend donc vers— , d'où la relation •

ou

•^ s/oi

Pour que la fonction J{z) soit holomorphe, il faut donc que m soit de la forme -r-y k désignant un entier positif. Celte condition est d'ailleurs suffisante, car, si elle est remplie, la fonction i{z) n'a dans le plan aucune singularité à distance finie ; ses zéros coïncident avec les pôles de u{z) et sont tous d'ordre A.

Si Ton veut seulement que J(^) soit une fonction uniforme de Zy la condition nécessaire et suffisante est que m

soit de la forme \-y k étant positif ou négatif. Si k

est positif, i{z) est holomorphe; si A: est négatif, i{z) n'a plus de zéros, mais admet des pôles d'ordre A: qui coïncident avec ceux de u[z), A deux valeurs de k égales et de signos contraires correspondent deux fonctions J 1(5)

Cl J2(^) dont le produit J| Jo est égal à l'unité. Plus généralement, soit J| (z) la fonction holomorphe qui correspond à^= ifm = — y) 9 elJfç{z) la fonction qui correspond à la valeur entière k (positive ou négative); on a

Problème n"" 14.

Sachant que la partie réelle P d'une fonction analytique /{z) = P 4- (Q est de la forme P = (p ( - ) > déterminer cette fonction.

Posons ^ = w, et représentons par ©' la dérivée de cp

par rapport à ^. La fonction Q(a;,r') doit vérifier les conditions

dx a? ' ây ' x^*

soit Qi (^, u) la fonction obtenue en remplaçant dans Q la variable^ par ux\ on 2i

àQ àq, y ^ dQ, dx du a?* dx '

dy ^ du X

et par suite

('> c^a - ^ "' dx -

La première équation (i) nous montre que Qi(«) est nécessairement de la forme Qj (w) = F(w) + G(:r) ; la seconde équation (i) peut donc s'écrire

xG\x) = — (p'(i-hw2), égalité qui n'est possible que si les deux membres sont des constantes absolues, c'est-à-dire si l'on a

0'=—^, G'(rr)=--,

OU enfin

<p = Carciangw-4- D, G(j?) =— G loga: -f-D'.

Ces résultats obtenus, la première égalité (1) donne

donc

F(tt) = = Glog\/i-HM«-»-D'.

En définitive, la fonction analjrtique cherchée est la suivante

f{z) = G(arc tangu — iloga?/i-i- m*) -4- const.

= G (arc tang - — t logv^a?*-f-/']'-h const. = — iGlog^ -h A -f- /B,

A, B, C désignant- trois constantes réelles.