Considérons, en second lieu, le déterminant
qui est formé par les 4' ou 16 premiers nombres entiers, disposés en carré magique.
Pour en calculer la valeur numérique, de la première ligne retranchons la quatrième, et de la deuxième retranchons la troisième; il nous vient
8 10 II 5 i3 3 2 16
8 10 II 5
où nous avons divisé les deux premières lignes, l'une par — 12 et l'autre par 4*
Or le dernier déterminant est évidemment nul, puisque les deux premières lignes y sont identiques; donc on a A =o.
COMBINAISON BT PBOPBIÉTfiS DBS DÉTBRIIINANTS, BTG. 67
89. Soit encore à calculer la valeur numérique du déterminant
la
ai
qui est formé par les 25 premiers nombres entiers, disposés en carré magique.
A la première colonne ajoutons les quatre suivantes, puis retranchons la première ligne des quatre suivantes, nous obtenons successivement
Nous pouvons actuellement diviser la première ligne par — 6 et la seconde colonne par 2; il nous viendra, en changeant les signes dans la dernière colonne,
LITRB I. — CHAPITHB II.
Dans le premier de ces déterminants» nous ayons ajouté a fois la première colonne à la seconde, nous l'avons retranchée de la troisième et ajoutée à la quatrième; puis nous avons changé les signes de la seconde et de la troisième ligne dans le troisième déterminant.
Dans celui-ci tous les éléments, moins un, sont nuls à la seconde colonne; par suite il vient
90. Les déterminants algébriques peuvent se développer suivant les mêmes règles. Nous allons en fournir plusieurs exemples.
Exemple I. — On a successivement
o a-+-fr — c i — c — a o 26 b -r- c — a
(a-^fr — c)(a — fr — c) — 2ft(C'
a* -h fc'H-c*— 26c — 2ca— aoft.
COMBINAISON ET PROPRIÉTÉS BBS DÉTBMilNÀNTS, ETC. 5g
Dans le premier déterminant, on a retranché la dernière colonne de chacune des deux précédentes; on a ainsi obtenu le second déterminant, qui, en vertu du n® 64, se réduit au troisième. Dans celui-ci, on a retranché la première ligne de chacune des deux suivantes; on est ainsi arrivé au quatrième déterminant, qui se réduit au cinquième.
