RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES
S I. Résolution des équations linéaires non homogènes. — $ II. Résolution des équations linéaires homogènes. — $ III. Résolution d'équations linéaires en nombre différent de celui des inconnues.
§ I. — Résolution des équations linéaires non homogènes.
lâl. Proposons -nous de résoudre le système des trois équations du premier degré à trois inconnues
iaiX -\- bijr -i- CiZ = kit dX -t- b^X -f- Ca Z =: Afa, OiX -+- 63/ •+- CzZ=: Ar,.
Appelons A ie déterminant du système des premiers membres de ces équations, c'est-à-dire posons
a, fc, c,
Arrr Oj bi C,
Ui bi Ci
A6n d'obtenir la valeur de l'inconnue x qui satisfait au système (i), multiplions ces trois équations respectivement par les déterminants mineurs (fcjCs), — (ftiC,), -h (fti<?>), pris alternativement avec le signe -h et le signe —, qui correspondent aux éléments at, Oj, a^ de la première colonne du déterminant A, et ajoutons; nous obtenons Téquaiion
x[ai[biCi) — 02(6,^3) -4-a3(ft,c,)]
, j -+-r[*i(*«^») — b^{b^c^) 4- bi[btc,)]
-+- z[ci{biC3) — Ci{biCi) -4- 03(6,6-2)] = Ar,(ft2C3) — kiibiCy) -+- ki{biCi),
go LITRE II. — GHàPITRB II.
Or nous savons que (42 et 47)
bi(b\Ci) c, (62C3)
bilbid)
c^ibtCi)
ai[biCi) bi(biCi)
03(61 Ca)
d'ailleurs il est évidem que
kxibiCi) — ki{biCi) -+-A-,(fr,C2) — (kib^Cy); par conséquent notre équation (3) se réduit à
£kX ou («iftiCa) X^— (A-ifta^a)
et donne
Ct
(Ar,6,c,)
Pour avoir la valeur dej» il suffirait de multiplier les trois équations (i) respectivement par les déterminants mineurs (tfaCs), — («iCj), -h(a,Ci) des éléments 6,, 6j, 63 de la seconde colonne de A, et d'ajouter. On aurait la valeur de z en multipliant (i) par les déterminants mineurs (a^bi), — (^163^ + (^162) et en ajoutant. On trouverait ainsi que
fli kl Cl
a, /tj c.
(«i/fiCa)
at kt C3
(«léaC»)
Ux bi c*i
«2 6, Cj
As 63 Os
[ajttki]
[Ox b. Ci)
ft.
At 6| Cl
as 6, Cj
On étendrait facilement cette méthode à un nombre quelconque d'équations linéaires non homogènes à autant d'inconnues.
RÉSOLUTION DBS fiQUATIONS LINfiillRBS.
L'inspection des valeurs (I) et (II) nous fournit Ténoncé suivant :
Régie. — Étant données n équations non homogènes du premier degré à n inconnues, dont les seconds membres sont des quantités connues, la valeur de chaque inconnue est égale à une fraction ayant pour dénominateur le déterminant des inconnues et pour numérateur la valeur que prend ce déterminanty lorsqu'on y remplace les coefficients de l'inconnue par les termes connus.
Cette solution a été indiquée pour la première fois par Leibnitz [Lettre à LHospital du 28 avril 1639}, P^^^ découverte de nouveau par Cramer [Analyse des courbes algébriques, l'jSo; Appendice, p. 658).
