RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Posons

(x-fl)(ar — 3){j: — c)(x — rf) =ff(x),

le facteur entre crochets sera égal à <f'(x) et notre équation deviendra

ff(x)—Xff'(x) = 0,

ou encore

i j*— a(fl H- ô -I- c -4- d)x^-h (ab-hac-+- ad~hbc-\- bd-^ C€l)x^ — abcd= o,

' 120. Proposons-nous encore de résoudre Téquation

{a-^xY [b-hxy (c-^-xf =0.

{^a-^xf (2Ô-i-x)^ (:ic -h xf

Des deux dernières lignes retranchons la première multipliée respectivement par I et 8; nous obtenons, en divisant chaque fois par x,

xM 3fl*-h3ax-*-x'

3ft=

b' Zbx

3cx

iika^-h6ax-h x^ la^'-h 6ftx-f-x' lac'-h 6cx-h x'

retranchons maintenant la seconde de la troisième et divisons par 3 la ligne résultante ; il nous vient

3ax

3ft'-4- 3bx -h X

3b'-hbx

à" * 3c*-H 3cx -H x^ 3c' -h ex

enfin retranchons la dernière ligne de la deuxième, puis divisons par x;

nous trouvons

3x* 2a -^x làb -h X ac-hx =0.

3û'-Hflx 3^'-^^x 3c'-f- ex

Cette équation peut encore se simplifier. Retranchons la première colonne de chacune des deux suivantes et divisons par 6 — a et ç — a ;

nous obtenons

û* à'-h ab-^ b^

5x^(6 — fl)(c — fl)

a*-h ac-h c'

3û'-+-flx 3a-^ Zb-h X 3^-i-3c-+-x

retranchons la seconde colonne de la troisième et divisons par c — b;

LIVBK II. — CHâPITBB I. — KÉSOLOTIOIf, BTC.

nous avons

fl»

a^-i-ab-h A*

aa -+- X

3a*-Hûx

3a-hZb-hx

Cela fait, à la première colonne ajoutons à la fois la seconde multipliée par — a et la troisième multipliée par ab\ puis de la seconde retranchons la troisième multipliée par a-i- b; nous trouvons l'équation

qui revient à

abc — (bc -hca-+- ab) a-h b -^ c

3a^{b — a)[c — a) [c — b)[(a -hb-^ c)x^-i- Z{bc -+- ca-^ab)x -+■ Sabc] ~ o.

Les trois premières racines sont nulles et les deux dernières sont fournies par Téquation du second degré

(a-h b -i~e)x^-h 3(bc-h ca -h ab)x-\- 6abc = o.