g I g* iÊf
Dans aucun cas, - %/ ne peut atteindre - -, il faut
toujours avoir
x^l — a\^l < - a ou x < 2240".
67. Forme d'équilibre d'un fil homogène et pesant, posé sur la surface d'un cône droit dont l'axe est vertical et le sommet en bas. (Vieille.)
En supposant le cône parfaitement poli, sa surface exerce sur chaque point du fil qui la touche une réaction normale Di S.-0. — Bte, 7
dont les composantes sont
— N— , — N^> N 1 , V= v^J^Tj^+^^âng^;
a est le demi-angle au sommet du cône. On a les équations
d'équilibre
, a. ^-^ N ^ as V
On en déduit
,r^àz . N
a.T--- zzzpds — - ztang'3</.9.
as V
dT—pdz, T=/>(z — a).
Multiplions la première par — y^ ^* seconde par x, ajoutons et posons x = r cosd, y = r sind, nous aurons, en tenant compte de la valeur de T,
La Géométrie donne
z=zr cota, ^*=: r'^ô'H — : — l/H;
siD^a
donc
• , ziz c^dr
(I) smarfO=:
r ^r*(rcota — ay — c*
Cette équation n'est pas généralement intégrable^ mais, comme z doit être ^ a pour que T soit positif, r cota ]> a-, la quantité sous le radical ne s'annule que pour une valeur ri supérieure à atanga; si donc r est d'abord croissant, il croit indéfiniment^ s'il décroit d'abord, il atteindra un minimum r^ pour augmenter ensuite à l'infini. On peut
SUR LA MÉCANIQUE RATIOlTirELLE. 99
voir que la projection du fil, définie par Tëquation (I), a des asymptotes passant par le centre^ car, en supposant ô = o pour r = Ti, quand r devient infini 0 devient égal à
siii « J^ y^r' (/ cota ^âf-T^ '
le dénominateur étant de Tordre de r*, 6, est fini. Quant à la distance du pôle à l'asymptote, c'est la limite de rsm{Oi — B) pour r infini; or
lim 7* sin ( G, — 0 ) -- lim — = lim
,. c'rsina = lim .- -> ;:^ o.
^r^[r col% — a)' — c*
On peut intégrer (I) quand a = o; le miDimum de r est Tj = c^tanga*, si pour cette valeur 9 est nul, on aura
• ^ . I c* tança . c* tança
Osma = -arccos -^^» r»=: -—-^ — -•
2 /' cos2(9sma)
11 est aisé d'en conclure que le fil suit la transformée d'une
hyperbole équilatère dont le demi-axe est =» et
y^sinacosa
dont le plan serait enroulé sur le cône, le centre de l'hyperbole étant au sommet du cône. Pour réaliser ce cas, supposons que les extrémités du fil soient attachées à des hauteurs égales, en des points pour lesquels r == /•', 6 = dz ô'j et soit 2/ la longueur ; on doit avoir
,, c' tanga cosa /'"' r'^dr
"~cos2(0'siïr)' "" sîâ^ X ^Hi^ V^ «"i^^t^-^ '
lOO UECUBIL D EXERCICES
la première dëtermine c' et la seconde / à Vaide d'une intégrale elliptique.
On peut encore intégrer (I) quand le polynôme sous le radical admet un facteur double^ alors
4 c* =r a» tanga, r, z- ^■— a tanga
et
a* tang a <fr
cosa^O =
r['ir — a tanga) ^(ar— atangaj' — aa^ tang'a
(ao a\ dr
d'où
I aJi 2r-+-ûtanga
0 cosa = -^ arc cos arc ces = ;
^2 arcota — a arv^a
quand 7* va de r^ à oo , 9 croît de -r (^ — i) séca.
Pour déterminer la pression exercée en chaque point sur le cône, ajoutons les équations d'équilibre multipliées respectivement par x^y^ — z tang' a,
(II) xd.T.— '^yd,T-^ — zUknQ^%d.T:~=KV€is—pztàn^otds. Or Téquation du cône donne
dx dy ^ dz
d'où
,ti.r dr ^ ,<^^
ard'-r — hra-7 ztang^atf —
ds ds ^ ds
= — -- [da^^dx^— dz^ tangua) = ( ^ \\ ds.
ds^ ^ ^ ' \cos'a r/5» /
Tenant compte de ces relations, on tire de (II)
z=pz tang'a — p(« — a) --^ T"- ,~:ï;;,*
Remplaçons dB par sa valeur générale en fonction de dr^
z par r cota, et V par 1 nous trouvons
^ ^ ^ cosa
N =»sina-^-7 ^^— N— •
/^(r — atanga)
Pour r infini, N =p sina 5 pour savoir s'il est positif tout le long du fil, on cherche le signe du numérateur pour r=^ri\ comme r\ (r^ cota — a)* = c*, le numérateur a le signe de r,(ri — a tanga) — {r^ cota — a)* ou de a H- ri(tanga — cota).
Or r, =. - tanga (a -f- ^a*-h4c' cota) j pour que N puisse
être <[ o, il faut
2a -4- tanga (tanga — cota) (a 4- ^fl*-f- 4 c' cet a) < o»
ce
qui exige en tous cas « <C 7'
68. Forme d'équilibre d'un fil dont chaque élément est soumis à une pression normale proportionnelle à sa diS" tance à une droite fixe; ce serait la forme transversale que tend à prendre vers son milieu une enyeloppe cylindrique fiexib le dont les bords sont tenus par deux tringles horizontales, et dans laquelle on verserait un liquide pesont. (Resal.)
Traitons rapidement ce problème pour donner un exemple de discussion de courbe définie seulement par des relations entre les coordonnées et un paramètre variable. Je
lOâ RECUEIL D EXERCICES
prends pour axe des x Thorizontale sur laquelle sont les extrémités du fiU l'axe des y étant dirigé vers le haut, et j'appelle a l'angle de la tangente avec l'axe des x. Le fil étant soumis à des forces normales, la tension est constante; nous avons, en projetant sur la normale les forces qui sollicitent l'élément ds et observant que la courbe est évidemment plane,
ds (i) T—=Td(f.z=i — pyds.
Multiplions par sina, posons T = a*/? et appelons p la valeur de « pour j^ = o,
(2) a*sinarfa= — ys\xiot.dsz=: — ydjr^ y=z — a^^[cosx — cosô),
d'où
asinada, . acosotdct.
dx = -^ dn =z: cotoidjr =
\/9. ( cos a — cos p) y/a ( cos a — cos
adoL
ds = — ~:
^2(cc)s« — cospj
On ne pourrait avoir x qu'à l'aide d'intégrales elliptiques-, mais on voit que, a croissant de zéro à J3, ;^ va constamment
ir
en augmentant : il en est de même de a: si p <[-• Si
P^-» X augmente d'abord pour diminuer ensuite 3 le
vase se rétrécît au sommet. J'appelle 2c la distance des extrémités du fil, 2 a sa longueur, et j'ai entre J3 et a les équations
, r^ ado. C^ acofiada
Jq v/2(cosa — cosp) J^ v^2(cosa — cosp)
Posons, pour transformer ces intégrales,
cosa = I — . 2 sin' -> cos S = i — 2 sin* - > sin - = sin - sîny,
SO& Ui MÉCANIQUE HATIONMELLE. Io3
d'où
ir w = 2a I "f\/t — sin' - sm'y — a I ■
— ne contient que l'inconnue sin-/3, et on la calcule
ne contient que l'inconnue sin
par approximation à l'aide de Tables des fonctions elliptiques complètes. Si Ton se donne (3, on trouve le rapport
^7— ; soit p = -> on a
/ ^?t/i sin*ç =:i ,35i, —— = 1,46.
On voit que, dans les conditions du problème, le minimum de c est zéro^ (3 est alors environ i3o degrés. Si |3 est plus
grand, quand a va de - à (3, j? devient négatif, et le fil présente un point double au-dessous de Taxe des X] si même on avait ^ = tt, la courbe s'étendrait à l'infinf pour être asymptote à l'axe des x. Pour obtenir toute la courbe définie par l'équation (2}, il faudrait faire revenir a de |3 à zéro^ mais, en changeant le signe du radical, on a une branche symétrique de la partie utile par rapport au point qui est sur l'axe des x-^ puis a va de zéro à — /3, y redevient nul, et la courbe forme une suite illimitée de branches superposables. Enfin remarquons que nous n'avons pas
I04 HEGUEIL d'eX£R€IGSS
toutes les courbes contenues dans (i), car on eût pu disposer des constantes d'intégration de manière que la courbe ne coupe pas OX.
69. Un fil élastique, homogène à l'état naturel et pesant, est placé sur une cjcloïde dont la base est horizon^ taie, et la convexité uers le haut; une extrémité est atta" chée au sommet, et l'autre^ qui est libre, atteint le point le plus bas; quelle est la longueur naturelle du fil, et la loi suivront laquelle varie la tension P
Prenons pour axes la tangente et la normale intérieure au sommet^ la cycloïde est représentée par les équations
« = «(« -f- sinw), yz=a[i — cosa);
la lons'ueur d'un élément est ds= ^acos-udu^ et soa
poids de la forme
nap cos - udul [i-^ — ]t 2 \ Q/
Q est la tension qui doublerait la longueur naturelle de l'élément. Projetons les forces qui le sollicitent sur la tangente, inclinée à l'horizon de -•
dT 4- pr —apsinudu = o.
Intégrant, comme T == o pour u = ir,
(Q -h T)'=: 2apQ{i -f- costt) H- Q»,
qui donne la loi de la tension; quant au poids du fil, c'est
C^ 7.ap0 1 .
P = ( ^ ^ cos - udu
J*^^ y^apOcos^udu , — -- / Lap -, — = 2VûpQarcsm 1/ -. -• 0 v^Q^-f-4fl/?Qcos4« V ^<^p^^
On en déduit la longueur naturelle en divisant par p.
SUR LA MéCAiriQDE RÀTIOHNELLE. Io5
Fonne d'équilibre d'un fil homogène dont les extrémité sont fixes, et dont chaque élément est repoussé d'un point fixe avec une intensité inversement proportionnelle au carré de la distance.
Étant donnés trois axes rectangulaires dont l'un, OX, est horizontal, trouver la forme d'un fil pesant ayant une extrémité fixée en 0, Tautre en un point quelconque : chaque élément est soumis i une force ^':r parallèle à OX et sa masse est proportionnelle à sa projection sur OX. (FuHRMAinr.)
Trouver la force qui sollicite chaque élément d'un fil qui a la forme d'une demi-ellipse à axe vertical, et où la tension est proportionnelle à la projection de l'élément sur l'axe vertical.
lo6 RECUEIL d'exercices
