ÉQUILIBRE D'UN FIL FLEXIBLE
63. Considérons un fil parfaibement flexible et inextensible ^ chaque élément ds est sollicité par des forces extérieures dont les composantes, suivant trois axes rectangu*^ laires, sont TLds^ Ydsy Zds\T désignant la tension eu un point du fil, on a les équations d'équilibre
(i) </T— -+-Xrfy=o, <fr-i^H-Yûfj=o, </T--^ -hZdtf=o. as ds ds
On pourrait en déduire y^ z^ T en fonction de x, ce qui résoudrait la question.
Si Ton ajoute les équations ( i ) après les avoir multipliées
dx dy dz j dx ft
respectivement par —, — » ~ ou par a— ï"*? ou enfin
par djrd*z — dzd^jy. ,.^ on arrive i trois conclusions, qu'on peut aussi obtenir en projetant les fondes qui sollicitent l'élément ds sur la tangente^ la normale, la binormale :
I® dT! = —[^dx-\'YdY-k'Zdz)'^ lorsque le second membre est intégrable, on peut en déduire T en fonction d une constante et des coordonnées d'un point quelconque du fil.
Ids a® p étant le rayon de courbure, est égal à la composante normale des forces qui sollicitent l'élément ds\ cette relation peut servir à trouver le rayon de courbure de la courbe funiculaire.
88 RECUEIL D^EXERCIGES
3^ La résultante de ILds^ Yds^ Zds est dans le plan oscillateur à la courbe.
64. Forme d'équilibre d'un Jîl flexible, homogène, non pesant, dont les extrémités sont fixées, et dont les éléments sont repoussés d'une droite fixe AB par une force perpendiculaire à cette droite et proportionnelle à la. distance du point à AB. L'hélice peut satisfaire aux conditions de la courbe funiculaire. Cas oà les extrémités du fil sont dans un plan qui contient AB. Cas ou elles sont enA^B^etoùla longueur du fil dépasse peu la distance AK. (La partie principale de ce problème a été proposée pour l'agrégation, i84a-)
Prenons un système d'axes rectangulaires dont A soit l'origine, AB l'axe des x ^ les équations d'équilibre ont la forme
(I) rfT-^ = o, dT-f'-^mWds = o, rfT-^-t-»*xd> = o. ^ ' as as as
La première donne T — = C. Il est aisé de reconnaître
que le système est satisfait si le (il a la forme d'une hélice tracée sur un cylindre dont Taxe est AB et le rayon R. Soit OL l'angle des tangentes avec AB; on a
d,r. dr «sina dz rsina
~-=:Cosa, -r-= y — = :^— - — •
ds ' ds K ds R
Substituons dans les équations générales, on aura
-, C y sin'a , ^ z sin*a
cosa R'cosa "^ ' R'cosa
Ce système est vérifié en faisant C = — ~ -> ce qui
sm* a *
donne la tension en chaque point de l'hélice.
J'ecarte le cas de C = o, qui donne pour tous les points T=o, avec ^ = z = o ou bien dx=^o. Quand C n'est
iir pas nul, T et — ne changent pas de signe-, on peut, en choi-
os
sissant le sens de ds^ prendre leur produit positif et écrire
inai$£fT= — (ù^{ydy-^zdz). Posons j^=7-cos 6, z=rsin9, nous aurons
Ajoutons enfin la deuxième équation (I) multipliée par — ^ et la troisième par — y
ds ds \ ds ds j ds 2
L'élimination de T donne les équations de la courbe funiculaire
ds
dx
On voit que a: et 9 vont sans cesse en croissant d'une extrémité à l'autre du fil. Si ces deux bouts sont dans un plan passant par AB, 0 sera constant ou croîtra de 27iir. Plaçons-nous dans le premier cas, seul admissible si un bout du fil est sur AB-, le fil est dans un plan passant par cette droite; en le prenant pour plan des j^, nous ferons r =zjr^ et nous aurons
(II) c»^=:a>-J^ dx^dz ^"''^
dx ^(aa — ^>)«— c<
Si la seconde extrémité du fil est sur AB, il j a un point
90 HECUËIL D EX&ftCtCES
ds où — = i^ donc a^^ c^. On voit qu'alors^ va en croissant de o à \Ja* — c*; le radical est alors > o, puis il change
de signe •, y décroît jusqu'à — ^* — c*, et croît ensuite, etc. On peut mettre dx sous une forme plus simple, en posant
jr = ^a} — r* sin», dx z=z -
c'df
v/a^-hc>y/i-^l;^sin»t
L'expression de ds se forme à l'aide de (II)
ds
= dfa Vu' H- cH / I sm*© — dx.
On a ainsi des intégrales elliptiques de première et de deuxième espèce. Comme, au point B, 7^= o, y doit varier de o à Ttir, et la courbe présente n branches égales, tour à tour au-dessus et au-dessous de AB. En général n peut être choisi à volonté. Pour déterminer a et c, on exprime que, pour f ss nrc, 5= a/ et x= aA, ce qui donne aisément
sin'^
\la}-^c
dmk J
mais ce sont deux équations transcendantes. La courbe est
SCR LA utCkVXqVE KATIOHNELLE. 9I
quarrable. Soit n =r i :
^a' — c^ sinf</f
L'aire engendrée pour la révolution autour de AB est aussi quarrable.
Pour le cas où / surpasse peu /i, je pose a* — c*= e*, et j'ai
On remplace 2c"h- e' — j-* par 2c', et il vient
, dr c//r . ^ v^ «jp = — = — '. » jr z=t6in »
ttf =: rfj: i / I H COS* — - — zrz: dx{ l -h '*'^«* ^ - • • ' •
COS' h
Les conditions données par le point B sont
On en déduit les constantes c et s, et Téquation de la courbe
devient
r = — i/>i (/ — h) sin — *- •
nn^ ^ ' 2/*
C'est une sinussoïde. La tension est 65. Déterminer la forme d'équilibre d'un fil pesant
OU la densité varie en Jonction donnée de l'arc, ou déduire cette loi de variation connaissant la forme de l'arc. Exercices sur la chaînette.
Ces questions peuvent se traiter à Taide des équations générales (i); mais il peut y avoir avantage à introduire l'angle a de la tangente au fil avec Thorizon (Casey, Cambridge Messenger, III). De ce que le plan osculateur esl toujours vertical, il s'ensuit que le fil est dans un plan vertical. La première équation (i) donne
Tcosa = T,
pds étant le poids d'un élément, la composante normale de ce poids est égale à T multiplié par l'angle de contingence
Tdx = pds cosa.
Combinant avec la première, où t est la tension au point le plus bas,
dot dlamsa r
T — — = pds. p =zr -^^— == •
ces* a "^ ds pcos*a
Quand la chaîne est un cercle,
Rt
la densité est réciproque au carré de la distance au diamètre horizontal.
Pour la cycloïde, convexe vers le bas.
a a cos'a
Pour la parabole à axe vertical de demi-paramètre c,
c T cosa
* cos'a c
SDR LA MÉCÀKIQUE RÀTIOIVlîBLLK . pS
Pour l'hyperbole équilatère y* — x* = a*,
(cos2a) Soit donné p constant :
-, p=z — (cosaa)*
ces a
:=pdsco&aL-=pdXf /?« =tL tang I ^ H — )
. , . T sîna</a T T ^ \i 2/
tf/=€ttsuia= ; — 9 r= — ^^ '
p cos'a pcosoL p
2tang
Si Ton pose - = a, on a
pois
ci)sa=:-, tanga = -V^ — e **/,
^=:atanga, T= ^=PY^
° cosa ^"^
Ces formules donnent immédiatement la solution de quelques exercices sur la chaînette, que j'emprunte au P. Jullien :
« Un fil homogène est attaché en deux points d'une horizontale dont la distance est 2a : quelle doit être la longueur du fil pour qne la tension aux deux point» d'attache soit égale au poids total? Quel est l'angle a de la tangente en ces points avec la verticale?
/— 4fL * — * » Un fil homogène, dont les deux extrémités pendent librement,
^4 mEcuEiL d'byerciges
est posé sur deux chevilles à la même hauteur, et dont la distance est 2a; pour une longueur totale donnëe du Ql, déterminer la longueur qui est courbée en chaînette : les deux houts libres sont égaux. En appelant 2 /la longueur du fil, le paramètre c de la chaî-
nette qu'il forme dépend de l'équation l = ce*^^ et l'arc courbe a
pour longueur c\e^ — e ^ /.
9 Un fil homogène a une extrémité fixée en un point d'une tringle horizontale, Tautre est portée par un anneau enfilé sur la tringle et dont le poids est n fois celui de la demi -chaîne; le coefficient de frottement sur la tringle est fx, et la longueur du fil / : quel est Técart maximum de ses extrémités pour qu'il puisse y avoir équilibre ? On trouve
alin -+-i)L —. ri —
66. Un Jîl Jlexible et inextensible, pesant, est fixé a ses extrémités; outre son poids, chaque élément supporte une charge proportionnelle à sa projection horizontale; déterminer la loi suiv^ant laquelle varie V épaisseur du fil lorsque la tension en chaque point est proportionnelle à l'épaisseur; forme de la cliaine, sa longueur^ son poids. Ce serait le problème d'un pont suspendu, sauf l'allongement du câble, application numérique pour m,ettre en ésndence la nature des constantes : il s'agit d'un cdble en fer, dont le poids spécifique e^t 7,7 ; les deux points d'appui sont à 100 mètres l'un de l'autre sur une horizontale, laflèdie de l'arc est de 10 mètres. Le poids supporté par la chaîne est 3 00 kilogrammes, par mètre de projection, enfin la tension doit être de n kilogrammes par milli" mètre carré de section.
Le^ équations du problème sont de la forme suivante :
rfT-7-=o, ^T -j pas — qojrz^o.
as as
SVK Ll MtCAjriQYIB BATIONITELLE. ^
p étant le poids d'une longueur égale à Tunité avec repais* seur correspondant à l'élément ds^ q la charge additionnelle pour une longueur dont la projection est Tunité. On doit avoir T= a/?. En appelant c la valeur de p au point le plus bas, les équations précédentes donnent
»— -=c, acd -i c— flaar==o
^ ds dx dx
OU
z=. djf.
dr*
Intégrant, en prenant pour axes la tangente et la normale au point le plus bas,
r rr^ — aL cos - I / ■= •
■^ . ay e
U n j a qu'une branche utile, symétrique par rappoi't à OY^ pour x= o, j^ est nul^ elle croît jusqu'à Tinfîni pour
X = - a 1/ ; au delà jr est d'abord imaginaire. Pour
rectifier la courbe, on a
ds = dx 1/
Je pose = «, tanc — = ;
2a{z*'hl)dz
, fl(lH-2*)'^ dz . {n^—\)zdz
g& ' BEGUEIL d'eXE11€IGES
Pour or = o, on a
d'où la valeur compliquée de 5
S:=zaljZ-\- aLt == — : — • :
Le poids est moins compliqué, car il est égal à
/—■ je /g -h c
Dans l'application numérique, considérons une portion du câble de i millimètre carré de section -, le poids de l'unité de longueiu* serait le poids de i centimètre cube de fer, 0^^,0077-, la tension étant de 11 kilogrammes, a est égal à
= mètres. L'équation (I) doit être vérifiée
pour X = 5o", j^ = 10"; c va être déterminé par Téquation
35o /3oo 4- c
L cos i / = — 0,007.
loooo V ^
Pour résoudre rigoureusement cette équation, il faudrait passer au logarithme décimal, chercher Tare correspondant en fonction du rayon, et en déduire c; mais, comme l'arc est petit, en le désignant par u, on peut prendre
L cosu = u*, ce qui nous donne
Un mètre de fer ayant l'épaisseur de la chaîne au point
SUR LA MÉCAiriQUE RATIONNELLE. gj
le plus bas pèse aS"'*, 7 •, il occupe un volume — ^ = 3^^', 7 5
la section est donc 87 centimètres carrés.
On peut achever les calculs approches, mais sans logarithmes. Calculons d'abord
= '-r-'Thî(?)"'-?'*-]
80 35 •/ o,oi4\ ,
Au point le plus haut, — est égala ^n- (0,402)".= 1,078;
la section de la chaîne sera de 4^ centimètres carrés. Le poids de la chaîne sera
!ia^c{q -î- c) cang — \/ ^ 1007
X 28,7 X 0,402 — 3oooo = 2964*'.
