A^BC) (A'^BC

est mené par la seconde droite ( 8) parallèlement à la première ( 7 ).

§ VI. — Droites et plans perpendiculaires.

268. Condition de perpendiGularité de la droite et dn plan. — Supposons que la droite

soit perpendiculaire au plan

(a) A;c-f- Bj^-+- C« -hD = o.

Si. par Torigine des coordonnées» nous menons une parallèle à ia droite donnée (i), les équations de cette parallèle

seront

Par le point I de cette dernière droite, dont les coordonnées sont a, bf c, conduisons un plan parallèle au plan donné (a), Féqualion^e ce plan sera

(3) Xx -hBy + Cz = Xa -hBb -h Ce = D\

Posons 01 = u et soient a, p, y les inclinaisons de la droite 01 sur les trois axes de coordonnées. Représentons d'ailleurs par /, m, n les distances à l'origine des points L, H, N

LA DtOITE IT LB PLAN. l3l

OÙ le plan (3) coupe les trois axes de coordonnéesi de sorte que

D' Aa-f-Bft-+-Cc '^^B^ 5 '

D' Aa-+-B6-hCc n = - = ^

Comme

u = /cosa = mcosP = iicosy,

il vient

(4) cosa = -g7> cos(3 = ^, cos7=^

Projetons la droite u successivement sur les trois axes de coordonnées, ainsi que le contour formé par les coordonnées a, bf c de son extrémité I; nous formons les trois équations

wcosa = a -h fccosv-f- ccosfi^

u cosp = a cosv H- 6 4- c cosi ,

ucosy =acosi:x-4-ft cosX-+-c,

qui» eu égard aux valeurs (4)> reviennent à

-|r7- = a -f- fc cosv -♦- CCOSfJLt

(5) { Iv"^ acosv-*-6-hccosA,

-=-- = a cos/x 4- 0 cosÂ -+- c.

Si nous multiplions ces trois égalités respectivement par^, fr et c et que nous ajoutions, nous trouverons que les

23a LITBB III. -* CHàPITRB III.

relations de conditions demandées seront

u} a'4- ft*-+-c*+ afcccosX-i-^cacos/x

F~* Aa-4-B6-4-Cc

a -h 6cosv-4- ccosfi

^ab cosv

a cosv -h & 4- c cosX

acosfi-h ftcosX-+- r

Ces conditions peuvent s'obtenir sous une autre forme. ^ Entre les trois équations (5), éliminons b et c; il nous vient l'équation

cosv

COSfX

-fïr "^ «cosv

cosX

Cm'

-jjr + acos/x

cosX

dont le premier membre est la différence de deux déterminants. On en déduit par suite

a cosv cos/x a cosv I cosX âcos/x cosX I

cosv COS/x

cosX

ou bien

I cosv cos/x cosv ' I cosX cos/x cosX I

A cosv cos/x B I cosX C cosX I

Nous trouvons ainsi, en développant, une nouvelle exprès-