Volume du tétraèdre SÂBC en valeur des coordonnées xj

«; ^1» ^1. «.; J^î» r,t «»; ^z^ Xzi «a des quatre sommets S, A, B, C. - Transportons Torigine des coordonnées au sommet S, et soient j:^,y, s'; .r*, y y «*; x""^ y, z'" les nouvelles coordonnées des trois autres sommets A,*B, G. Le volume du tétraèdre, exprimé en valeur de 0ts dernières coordonnées, sera donné par la formule précédente (XVII). Mais les égalité^

x^=x-i-x\ j, = /-hy, z^=z-^z'; x^ = x-^x", J, = r-^>^ z^=z-hzr;

x^=X'hx'", y^.-y-^f, z^-z-^z'^

donnent

X = X^ — JT,

iX- •— ^X^m *^^ *^ %

r = r^—ry v=z^'-z

Si nous substituons ces valeurs dans la formule (XVII], elle devient

\ X jr z

Dans le second déterminant, il suffira d'ajouter la première ligne à chacune des trois suivantes, pour avoir Texpression demandée

(xvni)

J^- Jj z

307. Méthode directe ponr déterminer cette expression. — Nous avons vu au n*" 257 que le plan MiMxM,» qui passe par les trois points

Mi(a:„7„a,), M,(x„7„i?,)» M,(jc„7„«,),

Ll TtTBAtoRI.

a pour équation

Zx Zz

que, pour abréger, nous écrirons

Ax -i- Bj -f- C-5 -^ D = o,

où a:,jr, z désignent les variables courantes.

Dans cette équaiion les coefficients A, B, C sont respectivement égaux aux déterminants mineurs

1 Xi Zi

I ^» -Si

I X, JTx

« X7 Zj

I Xi Z,

Ces déterminants représentent, au signe près, les doubles surfaces des projections du triangle M, M2M» sur les plans de coordonnées OYZ, OZX, OXY (211); par suite, la racine carrée de la somme des carrés de ces trois déterminants exprime la double surface de ce triangle HrMiMs, c'est-à-dire que