COS^ I

\ première ligne et la p

COSV COSfA

b COSV I COSA c COSfA cosX I

Cette relation nous donne l'expression en question

a I COSV cosu i

b COSV 1 cos^

c cosfA cos)l I

312. Expression déyeloppée du rayon de la sphère circonscrite an tétraèdre, en valenr de trois arêtes contignés et des indinaisons mutuelles de ces arêtes. — Si nous développons le déterminant |I|nous trouverons que

/ 4H*A'= û'sin'X -h a^(co8/xco8v — cos)t ) H- A'sin*/x -H ar^(cosv cos^ — - cosf*)

c'sin'v -H aâ6(co8> cosf*— cosv ).

313. Expression en déterminant dn rayon de la sphère circenscrite au tétraèdre, en valeur des six arêtes a et a\ b et b\ r et <* ,

LB TÉTRAÈDRE

opposées deux à deux. — Dans le déterminant (I) multiplions les trois dernières colonnes respectivement par 2 a, 26, ac, puis les quatre lignes résultantes par ^^ ^i à, c\ l'équation deviendra

c? aa' aa^cosv acacosfx

h^ 2tf6cosv rkh^ a^ccosX

c' acacosfA a^cosX 2c'

ou, en remarquant que <i'6'c'A'= 36V' et en tenant compte des lités (i]dun*294,

ar %a'

a^^b'^c'' c'-htf»-^'^

aô'

^ï-HC^-û'^

c» c»H-fl»-6'» à'-hc'-a'*

Retranchons d*abord la première ligne de chacune des trois suivantes, puis la première colonne aussi des trois suivantes ; il nous viendra

Enfin changeons les signes des trois dernières lignes, puis le signe de la première colonne résultante; le déterminant sera multiplié par (— i)*= I et n*aura pas changé de signe. Nous avons ainsi l'expression demandée

(III

314. Antres formes de ce déterminant (Ili). — Si nous nous reportons aux transformations du n** 73, nous verrons que cette expression affecte encore les deux formes suivantes :

(IV)

cV»

LITRE III. — CHAPITRE lY.

aa""

bb'

ce'

aa'

bb'

ce'

bb'

aa'

315. Expression, développée en produit, de la yaleor de 576Y'R\- Dans le déterminant ( V ) remplaçons la première colonne par la somme des quatre colonnes; nous obtenons

aa' -\- bb' -4- cd

aa'

bb'

ad -H bb -h cd aa' -H bb' -+- cd

bb' aa'

aa' -^ bb'~h cd

aa'

Nous voyons ainsi que le déterminant (V) est divisible para«'-i-6i'-f-cc'. Si l'on avait remplacé la première colonne par la somme des quatre colonnes respectivement multipliées par i, i, —i et — i, on aurait Irouré que le déterminant (V) est aussi divisible par bb'-h cd — aa'. Il est aisé de voir qu'il est de môme divisible par ce' -h aa'— bb' et par aa' -h bb' — ce' et qu'en définitive on a

( 576 V'R' = [aa' -+- bb' -+- ce' ) ( bb' h- cd — aa')

^ ^^ \ x[cd ^aa'-^bb')[aa'-^bb'-cd),

(VII) en posant

72V*R'= P'(P'- aa*) (P- bb') (P^- cd).

aa'

bb'-^cd=iV\

Cette dernière formule (VII) est due à Crelle (Crelle, Sammlun^ mathematischer Aufsàtze und Bemerkungen^ t. I, 3, p. io5).

316. Calcul direct du déterminant (III). — Supposons que le tétraèdre SÂBC soit rapporté au centre 0 de la sphère circonscrite et désignons par X, y, 2; ^p/p z^ ; x^, y^^ z^\ Xj, y^, z^ les coordonnées de> quatre sommets S, À, B, C.

Dans l'expression (XVIÏI) du n* 306, qui donne le volume V du tétraèdre, multiplions la première colonne du déterminant succ^sivemeot par R et — R ; nous obtenons les deux égalités

6VR=r