LIVRE III. — CHAPITBB IT
§ IV. — Rayon de la sphère inscrite dans le tétraèdre (' ,.
* 317. Prenons encore le somnnet S pour origine et les arêtes SA, SB, se pour axes des coordonnées. Soit 0 le centre de la sphère inscrite dans le tétraèdre et r le rayon de cette sphère.
Si Jc\ y, z* sont les coordonnées du centre 0, les distances de ce centre aux plans de coordonnées SAB, SAC, SBC étant toutes trois égales à r, on aura, en vertu des formules (III) du n* 270,
Ajt' Ay Az'
sin> sinfii sinv
D*ailleurs le plan de la quatrième face ABC du tétraèdre est
X y z abc
Nous voyons ainsi qu'il suffit de remplacer, dans la formule (3) du
n' 269, A, B, C et D par - , T> - et — I, p par r, et or', y, «' par leurs
, rsin^ rsinu rsinv .. . , , ^ • i^ ..
valeurs — r— , — r-^j — r— tirées de (i), pour avoir 1 équation
, , /sin> sinfA f^iov A\'
COSV
COSu
COSv
cos^
COStt
cos^
qui nous fournira la valeur du rayon r de la sphère inscrite.
Dans le déterminant du second membre, multiplions les trois dernières lignes, ainsi que les trois dernières colonnes, respectivement par a, h et c et divisons hors barres par le produit a,b,cx,a,b.c=^ a^t'c'; <x
(' ) G. DosToa, Nouvelles j4nnales de Mathématiques^ 'j* série, t. XII, p. 36;. - Archives de Mathématiques, i8;5, t. LVII, p. 170.
LB TÉTRAftOlB.
déterminant prend la forme
I à* o^cosv cacoSfA
I ab cosv b* ^cosX
I cacosfi bc cos'k c^
et montre (297) que le second membre de l'équation (a) est égal au
carré de la double surface S du triangle ABC divisé par a^b^c*. Nous
avons donc
' ifA sinv
(sinX sinu
d'où nous lirons
sinX
sinu sinv , txb £1 0 ^ c abc
Cette formule donne les deux rayons des deux sphères tangentes aux quatre faces du tétraèdre, lesquelles sphères ont leurs centres situés sur la droite (271)
sinX sin/A sinv
* 318. Si Ton a soin de changer dans celte équation (I) successivement le signe de sinX, sin/x, sinv, on formera les trois équations
(II
sinpi b
sinv
sin\ a
2S abc'
sinv
sin^ a
sinu b
dz
sin>
sinu b
sinv
îS abc
qui donnent les rayons des six autres sphères tangentes aux plans des quatre faces du tétraèdre.
Ces sphères ont leurs centres situés, deux par deux, sur les droites respectives (271 )
sinA
smfA
binX ~
sin/A
sinX
smfA
smv
r^ — ' sinv
smv
282 LIVRE III. — CaAPITBE IV.
qui, élant dirigées dans l'intérieur des trois dièdres
