SA, = SB, = SC

Ll T<TftAtDRB. ^85

On trouverait alors que (ÏX) «H-p-hy — ^'=fl'— fl = ^'~6 = c'-r,

c est-à-dire que ies différences des arêtes opposées seraient égales. entre elles.

Le rayon de la sphère serait dans ce cas

* 325. Pour le tétraèdre régulier^ on a

a = S = y = * = 2 et V=^; ^ ' a la

il vient, par suite,

et, comme les rayons des deux sphères, Tune inscrite, l'autre circonscrite, sont

ay/^ ayfè

on voit que

(XI) p'=^^=Rr.

Donc, dans le tétraèdre régulier y le rayon de la sphère tangente aux iix arêtes est moyen proportionnel entre le rayon de la sphère inscrite et celui de lu spïièrc circonscrite,

§ VI. — Tétraèdre équifacial (*).

* 336. Nous donnerons ce nom au tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles égaux; les arêtes opposées y sont deux à deux égales et les angles plans de chaque trièdre valent ensemble deux droits.

Nous représenterons par a^b^c les trois côtés du triangle générateur ABC et par A, B, C les angles opposés à ces côtés. Nous désignerons d'ailleurs par les mêmes lettres a, 6, c les angles dièdres qui sont adjacents aux arêtes a, b, c du tétraèdre.

(*) G. DoBTOR, Jfchives de Mathématiques et de Physique^ 1875, t. Mil, P- 179-

286 LIVRE m. — CHAPITRE lY.

Dans les formules du n"* 248 remplaçons a, p, y par A, B, C et X, Y, Z par a^bfC'y elles deviennent

(I) COSfl -h cosô •+- cosc = I ,

(II) A= 2v^cosAcosBcosC = 2tang- tang-tang--

* 327. Volume du tétraèdre. — Mettons cette valeur de ^ dans la formule (II), y = ^ obc^, du n^ 292; nous obtenons pour le volume da tétraèdre

y = -abc v^cos A cosB cosC ;

or le triangle générateur nous donne

cosA= 3 ; cosB = , cosC = 7 — ;

%bc aca %ao

par suite, nous trouvons, en substituant et en élevant au carré,

(ffl) 7.iV»=(A*-4-c'-û')(c»-hfl'— ^»)(«»-h^*— c»).

* 328. Rayon des sphères inscrite et ezinicrite. — Désignons ces rayons par r et r', et par S la surface du triangle générateur. 11 est évident que

il vient donc

(IV) Sr'=.r-=.'^-''-f^^'''^"'-''^^''[r''-p ■

{a-hb-hc)[b-i'C-'a)[c-i-a—b)(a-hb — c)

Si H est la hauteur du tétraèdre, on aura

3V H« -^ — 4'' = ar'.

Ainsi la hauteur du tétraèdre équifacial est égaie au diamètre de lo splière exinscrite et égaie au double diamètre de la sphère inscriu.

* 329. Rayon de la sphère circonscrite. — Les arêtes opposées du tétraèdre équifacial étant égales, la formule (VI) du n" 315 nous donnera

LE TÉTRAÈDRE. 287

divisant cette égalité membre à membre par la relation (m) qui précède, nous obtenons

(V) 8R' = û»-h6»-hc>.

Donc le double diamètre de la sphère circonscrite ati tétraèdre équifa^ dat est égale à la racine carrée de la somme des carrés des six arêtes du tétraèdre.

§ I. — Tétraèdre a arêtes epposÉES rectangulaires (*).

* 330. Théorème I. — Dans tout tétraèdre à arêtes opposées rectangtdaires, les sommes des carrés des arêtes opposées sont égales entre elles.

Nous avoDâ vu au n" 284 que, si deux systèmes d'arêtes opposées sont rectaDg:uIaires, les deux arêtes opposées restantes sont aussi perpendiculaires entre elles. En supposant donc

(i) a = 6 = 'y = -, d'où cosa = cosP = COS7 = o,

les trois formules (I) du n* 283 donnent de suite

* 33i . Théorème n. — Dans tout tétraèdre à arêtes opposées rectangulaires, les trois arêtes d*un même trièdre sont proportionnelles aux cosinus des faces opposées de ce trièdre.

Car l'hypothèse (i) réduit les égalités (in ) du n** 285 aux suivantes :

aco6p = 6cosX, ^cosv=r ccosfi, f cosX « cosv, qui donnent

COSA COS/x COSv

* 332. Relation entre les trois arêtes d*nn môme trièdre et les

angles dièdres adjacents. — Soit - la valeur commune des trois rapports (n), de sorte que

(a) cos'> = flV, cos'pt = ^V, cos'v = c'r*.

(') G. DosTOli Archives de Mathématiques et de Physique ^ 1876, t. LVII, p. 177.

288 LIVftI m. — GBAPITKB lY.

Le trièdre S nous donne aussi

sin'X sîn'ftt sin'v „ sin'fl ~ sin"*^ ~~ sin'c "" '

d'où nous tirons

8in*> = r''8in'//, sin'f* = /^sin'A, sin'v = /^sinV.

Ajoulant les égalités (a) et (3), nous obtenons

— I •+- r*û'-h^'*8in'fl = o,

— I •+- r'^* -f- r''8in*6 = o,

— I -h r*c* H- r'^sin'c = o.

Éliminant les inconnues r' et r^ entre ces trois équations, nous trouvon:} la relation

I a^ sin'a

I c* sin'c

qui, étant développée, se met sous la forme

/.tr. I /sin*ô sin'cX i /sinV 8in'«\ i /sin'a sin'A

^'^> 7\-w--rrT\-^--7rr7\-7r--b-r'-

On a pareillement les égalités

sio'a

sin*^'

sin' c'

sin'c'

I û" sin'a'

1 r' sin'c 1 a'* sin'fl' I ^" sin'6'

*333. Dans les relations (X) et (XI) du n"" 291 posons x donnent

-; elle?

= B'-f- C— aBCcostf = A'-h S'— aAScostf'.

On en conclut que :

Théorème III. — Dans tout tétraèdre à arêtes opposées rectançtlat'res, le carré du demi-produit de deux arêtes opposées égaie la somme des carrés des deux faces adjacentes à Vune de ces arêtes^ moins le douhh produit de ces deux faces par le cosinus du dièdre compris.

Ll TÉTRAftDRB. ^89

* 334. Faisons sina = siq^ = siny = i dans la relation ( XIII ) du même numéro 291 ; nous trouvons que

(VI) l(flV»-f-A*ô'»H-€r>0 = A»-hB»H-C»-hS'.

Ainsi:

Théorème IV. — Dans tout tétraèdre à arêtes opposées rectangU'^ laireSy la somme des carrés des produits des arêtes opposées est égale à quatre fois la somme des carrés des quatre faces,

* 335.- Volume du tétraèdre. — Les égalités (II) donnent

a' b^ -\- c^—% hc cosX d^

cos'X cos*fA-î- co8*v — 2COsXcosf/cosv sin'X — A*

d'où Ton tire

d^^ =zc^ sin*X — fl" cos'X.

On trouve ainsi que

/ 36V»^ û^^'c»A*r3 ^"c'Cfl^sin'X — a'»cos'X)

{ VU ) * -: c»û' ( h" sin' p - ^''cos V )

• ^ c^b^ (c' sin'v — c'* sin*v ) .

OoflTOB. — Déterra, 19

igO LIVEB III. — CHAPITRE T.