SA'BC, SAB'C, SABC

formés par deux des arêtes SA, SB, SC et le prolongement de la troisième, sont les lieux des points équidistants des faces de ces Irièdres.

§ V. — Tétraèdre circonscriptible par les arêtes (\.

* 319. Nous donnerons ce nom aux tétraèdres, dont les six aréles sodi tangentes à une même sphère.

Conservons toutes les notations précédentes, et appelons a, ^, 7, 0 le? segments des arêtes qui sont compris entre les sommets A, B, C, S du tétraèdre et les points de contact de ces arêtes avec la sphère.

Si nous supposons que la sphère touche à la fois les six arêtes et non leurs prolongements, nous aurons

d'où nous tirons, en ajoutant verticalement,

(I) a-h p-hy-H^ = tf -4-fl'= 6-h A'= c-h c'.

Donc, dans tout tétraèdre circonscriptible intérieurement par lesarélo. les sommes des arêtes opposées sont égales entre elles.

* 320. GosmoB des angles an sommet S. — Désignons toujours ce? angles BSC, CSA, ASB par >, fA, v. Puisque

a'^=z b^-h c*— iibccoslj il vient

Q.bc ibc ^bc

nous avons donc

bc ^ ca bc

t\x\ \ *p7 ^7« ^^ (II) C0SA = 1 i-t, COSft = I -^, COSV=:I — i

(*) G. D08TOR1 Nouvelles Annales He Mathématiques, 2" série, 1874» t. XIII. p. 563. — Archives de Mathématiques, 1875, t. LVII, p. 17a.

LK TtTRAÈDBK.

d'où nous tirons

(III

sin'-

"7- ? sin — = — 7 siu --

321. Volume du tétraèdre. ~ La formule (III) du a"* 293 nous donne

— I — cosv — cosu

— COSix COS>. —I

36V'=~-fl»^c'

^-(âh'c'

— COSV —COSfA

— 1 — COSÎl — -COS> —I

Ajoutons la première colonne à chacune des trois suivantes ; il nous

vient

I — cosv

I — COSp I~C08A

I — COSV I — COSf*

O I — cosX

Si dans ce déterminant nous gubslituons les valeurs (II] et que nous multipliions par a, b, c d'abord les trois dernières lignes, puis les trois dernières colonnes, nous aurons

2ap

Divisons enfin les (rois dernières lignes par 2 et multiplions aussi par 2 la première colonne résultante; le déterminant sera divisé par 4, et il nous viendra en définitive

;iv)

>our le triple carré du volume du tétraèdre.

* 322. Rayon de la sphère tangente aux six arêtes du tétraèdre.'ioient e>> le centre de cette sphère etp son rayon. Appelons f l'inclinaison

l84 LIYBB III. — GflAPlTRB lY.

commune de la droite Su sur les trois arêtes du trièdre S. Nous avons, en ayant égard à la formule (XXYI) du n"" 246 ,

4osm-sin-sma 2 a p = Jtangî>= ^ ;

et, si nous mettons dans celte expression les valeurs (III], nous trouverons que

^ ^ f^ ~ abcH " 3 V

323. Angles des arêtes opposées. — Représentons par X, ift», C la

inclinaisons mutuelles des arêtes opposées atic^^b et b\ c et c\ Nois

avons (283)

Aoo'cosJU = ^'-4-^'*— c*— c'*; I

remplaçant les arêtes par leurs valeurs (V) en fonction de a, p, 7, ^, no^ obtenons

cosC =

d'où nous tirons

(VI) ung'^ = îP:±:g, tang»î!?l = |l±^, u.ng'5=>^-.

et par suite

( VIE) tang — tang — tang — = i .

* 324. Si la sphère, tangente aux arêtes BG, CÂ, ÂB, touchait e\t^ rieurement les arêtes SA, SB, SC aux points A„ B,,C,, on aurait to< jours

mais il viendrait

où