h a(s— -c)(a:—fl)c0SfxH-a(a:— «) (j— -^)cosv — R*-o

On en tire

f^ ~~ i{x — a) -+- a(j^— b) cosv -i-a(z — c)coSf*, r = 2(jr — û) COSV -}-2(j — A) -T-a(z — r) cosX, /^ = a(j7 — a)cosfi-Hîà(^-— A)cosX-i- 2(z — c). Mais l'équation (i) de la sphère peut se mettre sous la forme (ÎOO)

(^•~«l/:-f- Lr-^)/; s- (z-r)y^ ~aR'== o.

Nous avons, par suite, quatre équations

4R»^a(«~x)/;^a(ô-:r)/;-^a(c~.z)>: =ro, f'^ -h a(fl — x)-\- 2(A — /) cosv -^ a{c — z) cosi* = o, ^ -+-a(fl-- j:)cosv-f-îï(A— ^)-i-a(c — 2)cos)i - o, y^ -H a(fl — x) cosfi-f- a(é —y) cos^ -f- 2(c — z) =u o,

( * ) G. DosToa, Archives de Mathématiques et de Physique, 1874, t. LVI, p. i'«3-

LES SURFACES DU SECOND DEGRÉ

entre les trois variables a (a — x), ^(b—jr), a(c — s). Éliminant ces variables, il nous vient Téquation

fl I COSV COSfx

/'. COSV 1 COS>

/^ COSfi COS> I

pour celle de la sphère.

En développant le premier membre, on ramène cette équation à la forme

4A*R't. sin'>/''-r- 2(cospcosv — cos>)/' ./'

-*- sin'fAjr'"-r- a(cosv cos> — cosp)/^ ./^ [ -t- sin'v /^"h- 2 (cosX CO8 ot — cosv)/^ ./' ,

ou A exprime le sinus du trièdre formé par les axes de coordonnées.

337. Équation de la sphère passant par quatre points donnés. — Si les axes de coordonnées sont rectangulaires, réquation de la sphère sera de la forme

d -4- nax ■+■ iby^ -t- 2cz -+- ar*H- j^-:- z'r^i o.

La sphère contiendra les quatre points Mi, M3, M3, M4» si les coordonnées de ces points

^atisfontà l'équation (2]. On obtientainsi les quatre équations d -4- laxx -^ aéjy*! -h 2CZ| -H ^J -1- /J -i- 2} ^^ o,

d -r- ^aXi -h ^b^i -r- ^.CZi -^ X

d -r- 2aars -- iby^ -f- '}.cz^ -i- x d -i- ^aXi-i- 26J4-T- icz^-v X

qui fournissent les valeurs de a, 6, c et d. La substitution de ces valeurs dans l'équation (2) donnera Téquation de la sphère- Cette équation peut s'obtenir immédiatement. En effet, les rînq équations précédentes (2) et (3) sont du premier degré 3ar rapport aux quatre inconnues dy 2a, ib et 2c; elles sont

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