ii

LIS subfàcbs do sigohd digeé.

Gela obtenu, posons

pois

(x x,y-+- Cr -

(^i-*.)'-^Cy.-

(x,-x,)'-i-Cr,-

(x,-x)» -i-cn-

(*«-*.)'+ (ri -

(*i-j^»)'-*-Cr.-

Si nous substituons ces carrés dans la dernière équation qui précède, nous obtiendrons la relation à trouver

(IV

o fl' S' p» è" «* o

e^ 7' a' cP o

§ II. — Les surfaces du second degré a centre.

339. Forme en déterminant de Téqnation de Tellipsoîde et des deux hyperboloides. — Considérons relIipsoTde

rapporté à trois diamètres conjugués 2a', ib\ 2(/. L'équation^ peut se mettre sous la forme

6'»c'»j;»+ c"a"/»-4- af'b'*x'={if^b''<f'.

294 LIYRB III. — CHAPITBB V.

Joignons un point quelconque M de la surface [Jig. i6 dont les coordonnées sont x^ j, z, au centre 0 de la surface et aux extrémités A', B', C des demi-diamètres positifs OA', OB', OC et tirons les droites B'C, C'A'^ A'B'. Nous formons ainsi les quatre tétraèdres OMB'C, OMC'A', OMA'B' ei OA'B'C.

Fig. i6.

Appelons v l'angle A' OB' compris entre les deux demi-diamètres OA', OB' et désignons par v' Tinclinaison du troisième demi-diamètre OC sur le plan OA'B' des deux précédents.

Si nous prenons le triangle 0 A'B' pour base du tétraèdre MO A'B', la hauteur de ce solide sera la perpendiculaire MB abaissée du point M sur le plan OA'B'.

Or il est facile de voir qu'on a le triangle 0 A'B' égal à

-J0A'.0B'.sinA'0B'=3|a'6'sinv;

de plus, si nous menons MP parallèle à OC jusqu'à la rencontre du plan OA'B' en P et que nous tirions PH, nous aurons MP — ^ et l'angle MPH— v'; par suite on voit aussi

que

HM ^ MP.sinMPH = zsinv'.

Il s'ensuit que le volume du tétraèdre MOA'B' sera

|0A'B'.MH:3ria'6'sinv.zsiny=^ia'6'z.sinvsîny'.

Mais sinvsinv' est précisément (233) le sinus A du trièdre OA'B'C formé par les trois demi-diamètres OA', OB', OC; donc il nous vient

vol.OMA'B'rrz-La'é'z.A.

LES SDBFAGBS DU SECOND DEGRÉ. agS

On verrait de même qu'on a

voI.OMCA'=|c'ay.A, \o\.OMW C =ib' ex. à;

et, comme vol.OA'B'C'=:^a'A'c'.A, on trouve que, si l'on multiplie réquation (i) par ycA% on aura

(2) voKMOB'C-i-voP.MOC'A'-f-volMtfOA'Br^voP.OA'B'C.

Ainsi l'équation [i) de l'ellipsoïde, rapporté à trois diamètres conjugués y exprime que y si Von joint un point quelconque de la surface aux extrémités des trois demi-diamètres conjugués, la somme des carrés des trois tétraèdres ainsi obtenus est égale au carré du tétraèdre formé par ces trois demi-diamètres.

340. Cela étant compris, supposons que l'ellipsoïde soit rapporté à trois axes quelconques passant par le centre de la surface et comprenant entre eux un trièdre, dont nous représenterons le sinus par A. Soient or,, y^y z,; x^, /•«, Zt\ x^y y^, Zy les coordonnées des extrémités de trois demi-dfamètres conjugués quelconques OA', OB', OC; et désignons par x, yy z les coordonnées d'un point quelconque M de l'ellipsoïde.

Nous avons (307) le tétraèdre MOB'C égal à

et, comme les expressions pour les volumes MOC A', MO A' B' et OA'B'C sont analogues, nous obtenons, en substituant dans l'égalité (2) et en divisant par ïVA%

r xy n Zi -h X, Yi Z3 -4- ^1 Ti Zi ■---. X2 ri Zi

Telle est réquation de l'ellipsoïde rapportée à son centrcy en valeur des coordonnées des extrémités de trois demi-diamètres conjugués ( ' ) .

Xl r,

^3 Xi

Xi 7,

Xi X*

Xs x^

(*) G. DosTORi La Science^ i8.)5, 2* semestre, p. 998. — Archives de Mathématiques et de Phjrsique, 18C6, t. LVI, Revue bibliographique, p. 5.

296 LITEB III. — GHAPITRB Y.

En développant les déterminants, on ramène cette équation à la forme

-+• {X r^Zt—X ZtJ-x H-7 Z^Xx'-']rX^Zx'\-ZX^J'x—Z J,X,)»

-^[xy.z^—x ZKy^-\-y ZxXt—y XxZt-^zxxX%—zyxxif z= (xiy^ Zi — Xi Ztyt -h yx Zt x^ — /, x-^ z, ■+ jî, x^y^ — z^y^x^

341. Lorsque les coordonnées sont rectangulaires et que les demi-diamètres OA', OB', OC sont les axes de la surface (i), l'équation (I) se réduite

xxx -^yyK-\- zzt /xxi-^yyi-h zzA*

(III] { '^•'^•^•"^'^' ^ ^î-^rî-+-«î /

avec la triple condition

• l XiXt-hy^y^-h Z2Zt~ o, ( 3,) < XiXi-^ y^yi -+- ^,z, = o,

( XiXi-^ yiy^-h ZxZi= o.

342. Si les coordonnées x^^ yu Zt sont seules imaginaires et de la forme Pv^— i, l'équation (I) représentera un byperboloTde à une nappe; si ces coordonnées seules sont réelles et les autres imaginaires, on aura Thyperboloïde à deux nappes.

Zhâ. Équation anx axes des surfaces du second degré. — Supposons que a, 6, c soient les coordonnées du centre de la surface du second degré

If[xy yy z] = Ajc»-t- Ay-f- A"«»

-f- i^yz -t- :iW zx -*- ^Vxy H- nCx -4- aC'/ H- aCz -*- D = o.

Cette équation peut s'écrire

{f[x,y,z) = k[x^aY'\^k'[y^bY-^hr[z^cY

(5) ! ^aB(^-6)(^-c)H-2B'(«-c)(x-a)

-h2B"(ar— a)(7-— 6)-l-H=o

LES SORFAGBS DU SECOND DBGtfi. Sg^

OU encore

(6) 2/{^,r>^)=(^-«)/*+(r-*)^ + (^-^)y:-^aH=o,

où Ton a

(7) H = Ca -f- C'6 -f- C^c -4- D.

L'éqnation du plan tangent au point (a/y y\ z') de la surface (4) sera

pendantque]adroitemenéeducentre(a,2r,c]aupoint(xS/9s'] sera représentée par les équations

Pour que le point [x'^y^z') soit un sommet de la surface (6), il faut et il suffit que le rayon central (9) soit perpendiculaire au plan tangent (8). On obtient ainsi les égalités de condition (268)

(j?'— a) -h (7'— à) cosv -+- (z' — c) cos/x

1 {^'— û) cosv -h (/— 6) -+- (z'-- c) cosX

■~ (x'—a) cosa-+- (/— ft)cosX-l-(z' — c)'

où 7i, [i, V sont les angles des axes.

Ces équations (IV) existent pour toute droite menée du centre à un sommet quelconque de la surface; il suffit donc d'y supprimer les accents des variables pour avoir les équations qui déterminent les axes de la surface (4)«

344. Grandeur des axes des surfaces du second degré. — Dans les équations des axes (IV), où x^y^z désignent les

^gl& LIVRE III. — GHAPITRB Y.

coordonnées d'un son)mei>

[X — a) -h (y— b) cosv -h [z — c) cos/x

[x — a) cosv H- (/ — ^) -H (z — c) cosX

Il • ~ t

[x — a] cos/jt -t- ( j — b) cosX -i- (z — c)

multiplions les deux termes de la première fraction para:-a« ceux de la seconde par :r — 6 et ies termes de la troisième par z — c, puis faisons la somme des numérateurs et celle des dénominateurs; nous obtenons une fraction, dont le numérateur, en vertu de Téquation (6), est égal à — aH et dont le dénominateur est égal à R% R désignant la distance du centre au sommet.

Nous formons ainsi les trois équations

R^/^ 4- 2H [ JT — a H- [y — b) cosv -h (z — c) cosfjt] = o, R*y^H-2H[(j: — a)cosv -t-^— 6 -h (z — c) cosX] — o, R^y^ -h 2H [[x — a) cosjx -^ [y — b) cosX -r- (z — c)] = o,

que nous pouvons transformer.

En effet, l'équation (5) donne pour les demi-dérivées les valeurs

en les substituant dans les trois équations qui précèdent, on les change en

(AR» 4-H)(^-a)-t-(B"R»-+-Hcosv)(7 — 6)

-+- ( B' R' -h H cosfx) (z — c) = o,

. , (B"R^-hHcosv){x-a) + (A'R'4-H)(j — 6) ^'^^ ^ •4-(BR»4-HcosX)(3-c) = o,

(B' Ra -fHcos/i) (a; — a) -f- (BR«-+-HcosX(^-6)

LES SURFACES DU SECOND DEGRÉ

Ces trois équations sont homogènes et du premier degré par rapport aux variables x — a^jr — b ei z — c; si nous éliminons ces variables, nous obtenons la résultante

AR>-hH B"R»-f-Hcosv B'R»-i-Hcos/:x

B"R»H-Hcosv A'R»-f-H BR» + Hcos> B'R»-i-Hcos/A BR'-+-HcosX A'R»-+-H

qui nous fournit les carrés des demi-axes de la surface du second degré (4].

Développons ce déterminant par la méthode de Sarrus, il nous vient

^AR^-+- H) (A'R»-^ H) (A"R' -- H) -f- a(BR»-f- HcosX) (B'R» -^ H cosu) (B"R»-T^ H cosv) — (AR^-hH) (BR»-f-HcosX)'- (A'R^^H)(B'R^H-Hcosfx)»

-(A"R»-hH) (B"R^-hHcosv)'=o,

et, en effectuant,

(AA'A"^ aB'BB* -^ AB'- A'B "- A''B''') R*

— [(B'— A'A") -h (B''-A''A)-h(B"-AA)-f- alAB-B'B^lcosX

-,- a(A'B' - B'B) CCS u -h atA'B" - BB') cosvJHR* -i-[A8in'> H- A'sin'f* -+- A'sin'v -+- 2B(cosfACOSv — cosÀ)

-f- aB'(cosvcos^— co8fA)-h2B''(cosX cosfx— cosv)]H*R* -r- {i— cos*>— cos'y— cos'v -h 2COsXcosf*cosv)H^= o.

(VU

34i bis, ÉqDiation d'un axe en valeur de la grandeur de cet axe. — MuUipIiors les égalités (10) respectivement par BR'-+-Hco8À, B'R'-f-Hcosp, B'R^-+-Hcosv et retranchons chaque résultat du précédent, nous obtenons les nouvelles égalités

;vin)

[( AB - B'B') R* -- (B ~ B' cos v - B" ces ^

~v A cos>) HR* — (cosfA CO8V — cosX) H^] (.r — a)

= [(A'B-B"B)R*-+- (B'-B"cos>-Bcosv

-+- A' cosfi) HR*— (cosv cos> — - cosft) H*] (y — b)

= [(A'B^ - BB') R* -h { B"- B cos fx - B' cosX

■+- A' cosv) HR*— (cosX cos fi — cosv) H"] (z — c).

qui constituent les équations de Tun quelconque des trois axes en valeur de la grandeur R de cet axe.

300 LIVRE m. — CHAPITRE V.

345. Équation et grandeur des axes des surfaces du second degré, pour des coordonnées rectangulaires. — Ces équations s'obiiennent en faisant cosX = cosjx = cosv = o, sinX=:sin|x = sinv = 1 dans les formules (V), (VI)-, (Vil et (VIII). On trouve ainsi

(IX

pour les équations aux axes;