u -ho.(;r— x') -^ \ .[y
-y)-ho.(z — z')=o.
c. — a-ho. (ar — j;*) +0.(7-
qui, pour être compatibles^ exigent que leur déterminant soii nul. On trouve ainsi la relation de condition
fy
qui doit exister quel que soit le point [x'^ ^j z*) de la surface (i).
Cette relation, qui, par la suppression des accents, revient à
se nomme Yéquation aux différences partielles des surfaces c^/iWrifues parallèles à la droite (2). Elle s'obtient immédiatement en remplaçant dans (3) x — x'yX—y et« — a' p» leurs valeurs tirées des équations (4j-
348. Conditions pour que l'équation générale des surfaces du second degré représente un cylindre. — Dans la relation (II) remplaçons/^ yfyifz P^** ^®s expressions qu'en fournit l'équation
f(x,y, z) = Ax^-hA'x'-h AV-h !kByZ'h!iB'zX'+-!kVxjr
-+- aCx -h 2Cy-haC'z + D= o; nous obtenons l'égalité
a [Ax -i- By -f- B'z + C) + 6 {B''x -f- A'/ H- B-s -h C)
LB8 BURPAGBS DU SKGOIID DMRt. 3o5
OU, en ordonnant par rapport à x, y^ z,
(Aa+B'6-hB'c)x-H(B''a-4-A'ft-4-Bc)r
(B'a-h B& -+- A^'c)* -f- Ca-hC'6 + C''c= o.
Cette dernière égalité devant avoir lieu pour toutes les va* leurs de x^y^z^ qui satisfont à Téquation (5) de la surface, exige que Ton ait à la fois
Aa -+-B''6 + B'c=o, B'a-f-A'&+Bc =o, B'a-+-B& -t-A''c=o, Co -f-C&-t-C'c = o.
Ces quatre équations sont homogènes et du premier degré par rapport aux troïs inconnues a, b,c; pour qu'elles soient compaiibles, il faut et il suffit que, étant considérées trois par trois, elles fournissent des déterminants nuls. On obtient ainsi les quatre relations
(IV
dont deux quelconques sont une conséquence des deux autres.
En développant ces déterminants, on a les équations
(VI
AA'A'-t-aBB'B'-AB'— A'B"-A''B'"=o;
CIB'-A'A") C'(B"— A'A) C'(B"— AA')
C (A'B'- BB')+C(A'B'— B'B) C'{A B -B'B')+C(A*B'- BB) C (A'B' - B'B) + C (AB - B'B')
349. Reprenons les équations (6). Si nous éliminons c entre la première de ces équations et la seconde, a entre la seconde
DosTOR. — Diterm. 3
3o6 UTRB III. — GHÂPITftI Y.
et la troisième^ nous obiiendrous les égalités
(7) a(AB-B'B") = ft(A'B -B''B) = c(A''B''-^BB';;
divisant les trois termes de la dernière des équations (6) par ces trois quantités égales» on trouve la relation
(VII
(VIII
