B"R' A'R'-4-H BR

B'R' BR' A'R'-i-H

I (AA'A''+ aBB'B"— AB'- A'B" — A'B'») R»

(XI) j -f-(A'A",-B>-i-A'A— B"-hAA'-B''»)HR«

( +(A-f-A' + A')H'R'-HH' = o

pour Véquation qui donne la grandeur d'un axe, et

I [( AB - B' B") R'-4- BH ] {* — a)

(XII) j = [(A'B' - B"B) R' 4-B'H] [y- b] ( ^ [(A'B"- BB' ) R' + 8*^] {z - c)

pour les équations d'un axe en valeur de la grandeur de cet axe.

ZkQ. Réalité des racines de l'équation du troisième degré en S. — Soient a, |3, y les cosinus de direction, pour des axes rectangulaires, d'un système de cordes parallèles dans la surface du second degré (4); les équations de Tune de ces cordes seront

a, bj c étant les coordonnées d'un point de la corde. Le plan diamétral correspondant sera représenté par Féquation

LES SDRPAGBS DU SECOND DEGRÉ. 3oi

dont la développée est

(B'a-hBp + A''y)^-hCaH-C'(3-he'y=o.

Pour que ce plan soit perpendiculaire à la corde (i i)> il faut et il suffit que l'on ait

Ag-^B^^P-f-BV B^^g-hA^P-hBy B^«4-B(3-f-A^>^

S désignant la valeur commune de ces trois rapports.

Ces relations de condition reviennent aux trois 'suivantes :

i(A-S)«-+-B''(3-f-B'y = o, B'^a-+-(A'-S)p-^By =o, Wa 4-B(3-f.(A''-S)y =0,

qui, pour être vérifiées par un même système de valeurs pour a, p, y, exigent que Ton ait

(XIU)

Il s'agit de prouver que les trois racines de cette équation sont toujours réelles.

Cette proposition a été établie de plusieurs manières, entre autres par MM. Cauchy, Kummer, Borchardt et Jacobi ; M. Sylvester l'a démontrée aussi d'une manière très-simple et fort élégante, en y appliquant la multiplication des déterminants (*). M. Gérono l'a encore prouvée tout récemment, au moyen des déterminants, dans son journal les Nouvelles Annales de Ma^ thématiquesy 2* série, 1872, t. XI, p. 3o5.

La démonstration suivante nous paraît très-avantageuse par sa grande simplicité.

Multiplions les égalités (12) respectivement par B, B', B'', que nous supposons tous les trois différents de zéro; elles

(») Philosophicaî Magazine ^ i852.

302 LIVRS III. — GttAPlTR£ Y.

deviennent

(AB - SB) a -4- B'Bp -r^ BB'y ^ o,

B'B'aH- (A'B'~SB')(3^BB'y = o,

B'B"«-4- B"B(3-f^ (A'^B"- SB") / =. o.

Si nous posons dans celles-ci

AB- B'B'i=: aB, AB- B"Br= a'B', A"B' -BB'= a^W.

elles se changent en

[ (a - S) B a -h B'B'a ^ B'B^ 4- BB> -~-= o,

(i3) j {a'-S)B'P-HB'B"a-^B"Bp-^BB'7=-o,

1 (a' - S) B''/+ B'B'a -r- B"B(3-h BB'y = o,

lesquelles prouvent que

Représentons par P chacun de ces trois produits égaux; nous avons les valeurs

qui, élant substituées dans l'une des équations (i3), nous fournissent immédiatement Féquation en S

Bjr B'^B BB^

qui devient, par l'évanouissement des dénominateurs,

|BB'B"(S-a)(S-a') (S~a"; (XIV) j -B'«B"»(S-a') (S-<,-B"»B»(S-a'')(S-a)

Pour fixer les idées, supposons que le produit BB'B" soit positif :

1° Admettons d'abord que les trois quantités a, a', assoient inégales et rangées par ordre de grandeurs croissantes.

Si, dans réquation (XIV), nous remplaçons S successive-

LES SURFACES DU SBGOHD DEGRÉ. 3o3

meut par — oo , a, a', cd' et H-oo ^ le premier membre prendra les valeurs correspondantes

— 00 , - B''B"» (a' - a) [oT - a),

— B'B'^ {a!'-a][Qr-a!), 4-00,

qui présentent trois variations; donc l'équation (XIV) a une racine comprise entre a et a! y une autre entre d et a" et la troisième entre a'* ei -f- 00 .

a^* Si deux des trois quantités a, a', a'* y par exemple d et (f^ sont égales, Téquation (XIV) se réduira à

[S— a')[B'B";S— a')iB(S-a)-B'B'^|-B»(B'^-+-B-^^)(S-a)]:=:o

et admettra une racine comprise entre a et a% une seconde égale à d et la troisième plus grande que d .

3** Si les trois quantités a, a% d* sont égales entre elles, réquation (XIV) a deux racines égales à a et la troisième plus grande que a,

% IlL — Les surfaces cylindriques du second degré. 3&7. Condition pour qu'une surface

soit cylindrique. — Cette surface sera un cylindre parallèle à la droite

^ ^ abc

si le plan tangent

niené en un point quelconque (t,/, z) de la surface (1), contient la droite

qui est menée par le même point [x'^y^ z') parallèlement à la

3o4 LIYRI III. — GHAPITBB T.

droite (a). On obtient de la sorte, entre les quatre inconnues x — x'^y — y, z — z' et — M, les quatre équations liomogènes du premier degré

-r')+fA'-*')-o,