Exemple. — Circonscrire au paraboloXde

(i4) fi^fXf^) = A'j'^-f- A^z*— 2a? = o

un cylindre qui touche la surface suivant le plan (i5) Ix -{- mjr-^ nz -h r^=o.

Pour les paraboloïdesy le déterminant

se réduit à zéro; par conséquent la formule précédente (XIII) leur est inapplicable.

Dans ce cas on a recours à l'équation non transformée (XI }, où l'on remplace a, b, c par les valeurs que l'on trouve, en identifiant les deux équations (g) et (i5)

a/^-f-6/J^. H-r/^ = o et Ix-hntx-^nz-hrzszo.

On voit d'abord que / = o, ce qui réduit le plan de la ligne de contact à

(i6) m/-f-n-« -hr = o.

Donc, lorsqu*un cylindre est circonscrit à unparabolold^, la,

LIS 8IJAFAGB8 DU SBGOHD DB6RÉ. 3l t

courbe de contact est située dans un plan parallèle à l'axe du paraboloïde.

Od trouve ensuite que

/?/^ -h 6^ -h ç/^ = a (A' bx -+- ^''cz — a) = 2 X(/ii/ -+- nz -t- r), ce qui donne

et, par suite.

Substituant ces valeurs dans l'équation (XI), on obtient

pour Yéquation du cylindre circonscrit au parabololde (i4], et touchant cette surface suivant une courbe située dans le plan (i6].

Si le plan de la courbe de contact est en même temps parallèle à Taxe des^ et situé à une distance d du plan des xy^ le cylindre circonscrit au parabololde

np 2q aura pour équation

<//*— 2pqx -4- 2pdz — pd^= o.

Pour dz=o, le cylindre touche le parabololde suivant la parabole

jr^z=2px, z = o.

§ IV. — Les surfaces de révolution du second degré.

356. Condition pour qo'ime Burface soit de révolution. — Soient x, f, z les coordonnées d'un point quel-

3l2 LITM III. — CfllpirKB T.

conque de la surface (■). La normale en ce point a pour équations

les axes des coordonnées étant rectangulaires, et X, Y, Z désignant les coordonnées courantes.

La surface (i) sera évidemment de révolution autour de la droite

si cette ligne est toujours rencontrée par la normale (a), quel que soit le point M ou («1^, 2) de la surface (i). Pour que cela ait toujours lien, il faut et il suffit que les équations (2] et (3) admettent toujours un même système de valeurs pour X, Y, Z.

Ces équations (2) et (3), au nombre de six, contiennent au premier degré les cinq inconnues X, Y, Z, » et p; si donc nous éliminons ces cinq inconnues entre les six équalions (2) et (3), nous obtiendrons une relation entre les paramètres de la surface donnée (1), ceux de réqaation (3) et les coordonnées jt, y^ z du point M.

Cette relation se calcule aisément. En effet, les équations (2) et (3 pouvant s'écrire

x-.«/;-x = o, Y-///;-r = o. z-ii/;~s = o,

av — X -h^ = o, hv — Y -+-^ = 0, cv — Z -t-rso,

nous éliminerons d'abord X, Y, Z, en ajoutiint verticalement, ce qui nous fournit les trois équations

av^vf'^^[x^p\ =0,

et»— tf/^ — {« — r) = 0,

entre les deux inconnues u et p.

Pour que ces trois équations soient compatibles, il faut et il suffit que leur déterminant soit nul. Nous trouvons ainsi la relation demandée

dans laquelle nous avons changé les signes des éléments des deux dernières colonnes.

LL8 BUKPAGn 1>U SECOND BEGUE. 3l3

Cette relation est Yéquation aux différences partielles des surfaces de répoUaioii, Elle doit exister, quelle que soit la position da point M snr la sorfiioe (i), ou quelles que soient les valeurs des coordonnées x, j, z satisfaisant à l'équation (i). Si on la développe, elle prendra la forme

(II