B'X^BY-4-A'Z-+-C

où a, «', a* sont trois oonstantes indéterminées et o une inconnue. Dans ces équations (5) substituons à X, Y, Z leurs valeurs

X = * + <, Y=r-H"^, 2 = »-+-»//;, tirées des équations (a) de la normale ; la première devient

«. = A (X -4- »/; ) + B"(7 + «/; ) + B'(z H- «y^ ) -K c = Ax -+- B'7 + B'z + c -t- « ( Ay; -1- B'/; + B'y; )

Nous obtenons ainsi les trois équations

- act p -4-/^ -t- a«(A f^ + B'/; + B'/; ) = o,

- a«v -É-y; -+- ««{B-/; -K B y; -»- AVi ) - o,

3l4 UVKB III. — CHAPITRB T.

«ntre les deux inconnues — ac et %u. Éliminant ces inconnues, nous trouvons la relation de condition

(lU)

BX

Ce déterminant doit ôtre identiquement nul, quelle que soit la position du point M sur la surface (4); par suite il faut et il suffit que les deux colonnes variables, la- seconde et la troisième, ne diffèrent que par un facteur constant.

Soit s ce facteur, qui rend les éléments de la seconde colonne égaux à ceux de la troisième; nous obtenons les trois équations

Vf

Jy Jy

Considérons le cas où les coefficients B, B', B' des rectangles des va* riables sont tous différents de zéro.

Si nous éliminons/^ entre la première et la seconde de ces équations,

/' entre la seconde et la troisième, il nous vient

(Bf - AB ^ B'B*)/' = (B'j -- A'B'-h B'B)/' = (B'j - A^B*-*- BB^/, .

Or dans ces trois produits les facteurs f^, f^i f^ sont variables :

leurs valeurs changent avec la position du point (x, y^ 2) sur la surface (4); par suite, pour que ces égalités soient possibles, il faut et il suffit que Ton ait

o = Bj — AB -H B'B''= BV - A'B'-h B*B = Vs - A'B»-t- BB*.

On en déduit les relations de condition connues

(IV