CD', = (D

346 LIYBB lY. — CHâPITKB II.

DoDC le discriminant (Q\ de la fonction transformée (3) est égal au discriminant (Di de la fonction primitive (i), multiplié par le carré du module de transformation (X|ul' — |xX').

Prenons encore la fonction homogène du second degré à trois variables

(5) F(X,Y,Z) = AX«-+-AT*-hA''Z>-+-2BYZ

dont le discriminant est (360, III)

aB'ZX-^aB'XY,

Dans cette fonction (5) faisons les substitutions linéaires

Y =Vx-+-;*'^-+-v'z, Z = X*jc -T- fx*^ -h v'z ;

elle devient

A'(X''a:H-fji''^-hv''z)' aB (Vx-Hfx'j-hv'z) (X''x-+-fx'j^-+ aB' (>." X -h fx"^ -+- v^z) (X X H- f* ^ aB''(X x-h [t y-hv z)(V x-h ^ j

v'z) vz) v'z).

La demi-dérivée de celte fonction, prise par rapport à x, sera

i/; = A X (Xx -h ftj -h vz) -+- A' V (X'x -+- fA> ^ v'z) -+- A"X''(X'x ^ fi'r

-h B X" (X'x -+■ fi> -+- v'z) -^ B V (X'x -+- ^'r -hB'X''(Xx-f-ft^-hvz) • -hB'X (X'x-t-p>

H- B" V (Xx -H ;*r -+- vz) •+- B" X ( X'x -+- ;*'j^ -+- v'z),

i/; = (AX-hB''X'-+-B'X'')(X x-+-ft^-hv z) -+-(B'X-hA'X'-4-B X'')(X'x-f-p>-Hv'z) H-(B'X-+-B X'H-A''X'')(X''x-t-fxV-^*'«)-

On calculera semblablement j/' et \f^ .

Si Ton égale à zéro les trois expressions ainsi obtenues, on forme le

OU

LES IKYÀBlilNTS.

système des trois équations

X (Xx H- p/H- vz) -h «lll) {Vx -h ii'jr -h v'z) -4- G (X*j7 •

X (Xx -+- fx^- -h vz) H- ift)' (X'x -f- ii'y -h v'z) -f- G' (V'x -f- p>

en posant

AX -+- B'V -h B'X* =-- a», B'X -f- A'X' -+- BX* = -ift,, B'X ^ BX '+ A'X" = Aft-+-B>'-4-B>''--*<l,', B> -4- A>'^-B /*"-•!«>', B>-+-B^'-+-AV^ Av -r- B'v' -+- B'v" = X% B'v -h A'v' -r- Bv« = yS^\ B'v h- BV -+- A'v" =

Mettons les variables en facteurs communs dans les équations précédentes (8) ; nous pouvons les écrire

Jlo' X H- lfc' V-+- Or}a: -+- (<A»' f* -h- ifc' ft'-h Gf*V -t- (<A>' v -f- ift,' v'-+- G' v'')z A'X -f- lft»'X'-r- GX'jx -f- (Jl,> -f- ifeV-t- Gf*")^-^ («^"^ -+- "vft^'v'-H G^^jz

Le déterminant de ces trois équations sera le discriminant de la fonction F(X, Y, Z). En le représentant par (E/j, on a donc

Jt'X

ift, V-+.G X" «A^ f* ifc'X'^-G'X" c«o>

G' fJt" al*.' V

iJb^'-hG^" Jlo'v

ife'v'

G v" GS" G'v'

Or il est évident que cette expression est le produit des deux déterminants

«\> <\fl> G X' ifc' G' X' ift)" G"

dont le premier, qui, en vertu des égalités (9), revient à

AX -f- B'V -+- B'X" B"X -+- A'X' h- BX" B'X ^ BV Afi-^B' II' ~^B'r BV-HA>'-+-BpL'' B>-f-Bfi' Av -f- B%' -H B'X" BS -H A'v' -+- Bv' B'v ■+■ Bv'

est lui-même le produit des deux déterminants

AV A'v"

ett

On a donc

LIYRB lY. — CHAPITRE II.

ou

ÛO',

38k. Invariants des conrbes du second degré. — Les invariants que nous venons de considérer existent, quelle que soit la nature des formules de transformation linéaire. Il en est d'autres qui n'apparaissent que dans des cas particuliers, lorsque les coefficients de transformation ont certaines valeurs.

Pour en donner un exemple, considérons la conique

[10) A.r'H- 2B^/ h Cj^-h H — o,

qui a l'origine pour centre. Faisons tourner d'un angle a les SiiLes de coordonnées, supposés rectangulaires; il faudra faire