A'C'-B":^AC-B

Dans le cas général, on a (316) A'-f-C'^A(X;-^pî)^-C(X;-h^î)-^2B(>X.-H^fx,^ et la somme A -h C est loin d'être un invariant; mais, dans le

LES INYARIANTS. 349

cas que nous considérons, les coefficients de A et C se réduisent à l'unité et celui de 2B s'anéantit, de sorte que

A' + C'=rA-hC.

Donc la somme A + C est un invariant de la fonction Aar^H-aBay H- Cj* lorsqu'on passe d'axes rectangulaires à d'autres axes rectangulaires de même origine.

385. Interprétation géométrique de ces invariants. — Les invariants d'une fonction expriment toujours une propriété de la figure [ligne ou surface), que représente l'équation obtenue en égalant la fonction à une constante.

En effet: i"* la conique (10) coupant les axes des coordonnées, supposés rectangulaires, aux points

les cordes qui passent par ces points d'intersection sont représentées par les équations

et les distances de ces cordes au centre de la courbe (10) seront égales à

A-rC

L*égalité A' + C'~Ah-C exprime donc que toutes les cordes, vues sous un angle droit du centre de la conique, sont à égales distances de ce centre; ou, en d'autres termes :

Tous les losanges inscrits dans l* ellipse (lo) sont circonscrits à un même cercle.

2^ Le diamètre conjugué à l'axe des x^ coupe la conique [10] en deux points dont les ordonnées sont

AH r — ^\/ AC-B»

35o LIYRB IV. — GHAPITRB II.

pendant que Taxe des x rencontre la courbe (lo) en deux points qui ont les valeurs

pour abscisses. L'aire du parallélogramme qui a ces qualre points pour sommets est donc égale à

ixy