V AC - B

Il s'ensuit que l'égalité A'C — B'*=: AC — B" exprime que:

Les parallélogrammes construits sur les diamètres conjugués sont équivalents. .

386. Pour déterminer, par un autre exemple, les invariants des fonctions du second degré à deux variables, proposonsnous de déterminer les axes de la conique à centre

(il) Aj7»-h 2Bj7y-4-C7^-t-H = o.

Si de l'origine, centre de la courbe, nous décrivons un cercle avec l'un des axes comme diamètre, ce cercle sera tangent à la conique à deux sommets opposés. Or, 6 étant Tangle des axes de coordonnées, l'équation de notre cercle sera

(12) x^-hjr'-i' !ixjr cosO — K^ =z o.

Nous pouvons tirer des équations (11) et (la) une équaUon homogène en x et y, qui représentera les droites dMntersection de ces deux courbes (i) et (2). Cette équation homogène s'obtient en muliipliant (i i] et (12] respectivement par R* et H, et en ajoutant; elle est

(AR^ + H) or» -f. 2 (BR»-f- HcosO) xy ■+■ (CR»V H)/»=o.

Les deux sécantes communes représentées par cette équation se confondront avec un axe de la conique (ii), si le premier membre est un carré parfait. On trouve ainsi Téquation

(BR»+Hcos0)>-{AR»-f-H){CR»-f-H)=:o,

qui fournit les demi-axes a et 6 de la conique (i i).

LES INfÂRlÂNTS. 35l

Elle revient à

(B«-AC)R*~(A-aBcos0 + C)HR^-H>sin»e = o,

et prouve que

., A — aiBcos0 + C „

^™' i .», H'sin'Ô