MOUVEMENT GÉNÉRAL D'UN SOLIDE
Gaa où il y a on point fixe.
m. Etant donnés trois axes rectangulaires définis par les angles qu'ils font av^ec un système d'axes fixes susceptibles de coïncider ai^ec les premiers, déterminer l'axe autour duquel il faut faire tourner le premier système pour l'amener sur le second et la grandeur de la rotation, (Cayley.)
L'axe cherclié 01 est le lieu des points qui ont des coordonnées égales par rapport aux deux systèmes. On a en général, entre les deux systèmes de coordonnées d'un point, des relations de la forme
Faisons x = oti , . . . ; on a trois équations sans partie constante qui admettent une solution différente de zéro, car leur déterminant est nul.
Si Ton considère le groupe de la deuxième et de la troisième équation, ou celui de la première et de la troisième, ou de la première et de la deuxème, on a tour à tour
mais on a des résultais plus symétriques en multipliant
Sun LA MÉCAHIQUE UATIOMITELLE. l8l
membre à membre d'une façon convenable :
Telles sont les équations de Taxe 01^ soit A son angle avec OX :
Dans le triangle sphërique isoscèle XIXi, Fangle I mesure la rotation, et Ton a
fl = cos' A -f- 8iQ*A cosi, I, i-Htf — acos'A i-f- tf -f- ^' -f- c*
COS' -I = — -r- = 2
112. Mou\^ement d^ une figure sphérique, — Le mouvement d'un solide autour d'un point fixe est détermine par celui de la figure qu'il intercepte sur une sphère de rayon i ayant son centre au point fixe. Le déplacement d'une figure sur la sphère est soumis à des règles analogues à celles qu'on a établies pour le plan ; quant au centre de courbure d'une roulette sphérique, il suffit de faire la perspective sur un plau tangent au pôle instantané pour reconnaître que la construction de Savary s'applique, sauf la substitution d'arcs de grands cercles à des droites. Cependant toutes les propriétés des figures planes ne se reproduisent pas dans les figures sphériques^ ainsi, quand un cercle plan roule dans Imtérieur d'un cercle de rayon double, un point de la circonférence mobile décrit un diamètre du cercle fixe^ il n'en saurait être de même sur une sphère , car un cercle de rayon sphérique r a une circonférence égale à sir sinr-, un cercle de rayon double a pour circonférence air sinar, qui est moindre que le double de la première. L'épicycloîde ne se confond pas avec un arc de grand cercle \ elle
l8a lECtSSlL D*BZBaCICES
passe au centre âa cercle fixe et a des rebroussements snr sa circonférence.
Les droites de l'espace et du corps mobile qui doivent être successivement axes instantanés forment deux cônes qui roulent l'un sur Fautre •, soient C et Ci leurs cônes droits osctdateurs suivant la génératrice du contact OI ; a, ai les demi-angles au sommet, (ù la vitesse angulaire du c6nc mobile Ci, ds la quantité dont se déplace le pôle instantané pendant le temps dt^ R, Ri les rayons de courbure principaux des deux cônes ; on a
(l) «rtr= — - H-— - =::a>(cota H- cota,).
Abaissons EP, IPi perpendiculaires sur les axes de C et de Cl, et nonmions f , (f^ les vitesses angulaires de ces droites dans Tintérieur des deux cônes ^ on a
IP = sinor, IP| usinai, iU:^f8madtz:=:tfiànatdt;
ces valeurs transforment l'équation (i} dans la suivante :
«> = ^ 008 oe -}- ^1 costti ;
elles donnent eu outre
ç fi yCOSa -f- ^1 cosa, u
smai sina sina, cosa -h . . . sîn(a-4-a|]
Si Ton prend sur les axes des cônes des longueurs f et cft mesurant les vitesses de préeession du plan méridien qui contient l'axe instantané, leur résultante est o)» Quand oo envisage le mouvement de la Terre autour de son centre de gravité, on sait que <f est ^ o et o» <^ o ; donc Q doit rouler à l'intérieur de C. D'ailleurs, ea prenant l'année pour unité de temps,
ff r= 5o", 2, W :zr -- 36o» X 366, ft^, a = 23» 27' ;
sua LA HtCUlIQinS mATIOVnBLLE. i83
en prenant sina au lieu de sin(a — oct ), on trouve
— smdci = nTî ^ •
En multipliant par le rayon terrestre, on obtient environ 2j centimètres pour le rajon du cercle que le pôle décrit sur la surface terrestre.
