Détermination €maljtique des éléments du mouvement
Considérons trois axes fixes OXi, OYi, 0Z| et trois axes mobiles OX, OY, OZ liés au solide^ on sait que les relations entre les coordonnées absolues et relatives sont de la
forme
Xx z=. ax -h a* y •^- a'* z^
z, = ex -f- c* y -+- ifz, \ji& projections de la vitesse sur les axes fixes sont
dx^ da da da „ dh
dt dt -^ dt dt •^' dt
On pi-ojette ces trois composantes sur OX, puis sur OY et OZ) et l'on pose
pdi=z a'da! -f. b"db' -f- c"dc^ = — [a'da" -+- b'db" -h c'dc"), qdtzzzada"-^ bdh' -^^ cdxf ^ r€U=a^da-h V db -h<fde;
il en résulte, pour les projections de la vitesse sur les axes mobiles,
Ys=qz — rjr^ \^z=rx^pz^ V^—py — qx.
L 'interprétation de ces équations est bien connue \ le mouvement à l'époque t est une rotation résultant de trois rotations p, y, r autour de OX, OY, OZ.
l84 USCUEIL D^EXERCICES
On peut avoîr les dérivées -r^" ' ^^ fonction de /?, ^, r,
en formant les valeurs de V,,, V^^, V,, comme éunt les sommes des projections de V,, V^, V, sur les axes immobiles. On a ainsi
Cette valeur doit être identique à la valeur (i); en égalant les coefficients de x,^, Zy et faisant de même pour V^,, V.^ on a
eifi
dt ^
da' dt
af'p — ar^
da' dt "1 *^'
- = cr-c'q.
On peut remplacer les neuf cosinus par les trois variables d'Eider, Tangle B du plan ary avec le plan Xij^'i, les angles 9 et ^ de l'intersection OP des deux plans avec OX et OXi \ les valeurs de f , ({/, 9 en a, &, c,. . . donnent leurs dérivées par rapport au temps en fonction de p^ q^ r. On évite ces calculs en regardant la rotation instantanée &> comme résultant de trois autri»s -r> -r? -r» autour de OZi, OP.OZ-,
de dt dt 17 I 7
/; est la somme des projections de leurs axes sur OX, . • o
p =1:= sm0 sinç--î- -f-cos©--)
'^ ^ dt ^ dt
d-h dB
q == sinO cosf - — sin y — »
r=: -i -f- cosô---»
dt dt
SUR LA HAcABIQUE RATIOXlfELLE. l85
Résolvant par rapport à dO^ d^^ d^y
dB d'il /7 8În9 + <7COSf
-'^ -^ ^ ' ^ <// sinO
= r — cotO(/>8inf -h^^cosy )•
A l'époque r, Taxe OI de la rotation Instantanée a pour projections sur OX, OY, OZ, p, ^, r; à l'époque t -f- dt^ les axes OX, . . • sont venus en OX^ . . . , et Taxe de rotation est une droite OF, dont les projections sur OX', . . . sont p -f- dp^ q -\-dq^r '\'dr\ mais, OX ayant été amené en OX' par une rotation autour d'une droite infiniment voisine de 01', on a
rox = rox';
de même rOY= l'OY', l'OZ == l'OZ', et les projections de or sur OX, OY, OZ sont encore p 4- dp^ q 4- dq^ r-hdr, La rotation OI' est la résultante de OI et de U',
en sorte que lîm — peut s'appeler accélération angulaire y,,
rxv ^P ^^ ^^
et ses projections sur OX,. . . sont ~-> -y^'T*
En difTérentiant les formules (q) par rapport au temps, on trouve les projections de l'accélération sur les axes fixes \ en projetant ces trois composantes sur chacun des axes mobiles successivement, on a les composantes de l'accélération
suivant ces axes. Tenant compte des valeurs de ^ ' • • • » ajoutant et retranchant p^x^ on trouve
dr dp
L'accélération peut être envisagée comme résultai trois parties : la première, perpendiculaire au rayon
résultant de vec-
i86 rnscvEiL d'bkbagxges
leur OM et k la direction de raccélëratioo angulaire, égale à 0]VIy»sin[OM, y«); la deuxième partie, dirigée suivant OI, égale à co*OM cosMOI-, la troinème suivant MO, égale à a>*01\f ^ ces deux dernières pouvant être remplacées par une seule, a>*OMsinMOI dans le plan MOI et perpendiculaire à 01.
Mouvement dans l'espace.
114. Le mouvement le plus général d'un solide peut être considéré comme résultant d'une translation et d'une rotati<m autour d'un axe mené par un point O choisi à volonté. Soient OX, OY, OZ trois axes liés au corps, />, ^, r les composantes de la rotation 01 suivant ces trois droites, u, t', w les composantes de la vitesse Yo absolue du point O^ les composantes de la vitesse d'un point M seront
La rotation p^ (f'^r est indépendante du choix du point O; mais u, u^ sv en dépendent, et l'on sait qu'on peut choisir une origine C au lieu de O, de sorte que la vitesse de G soit dirigée suivant Taxe de rotation CC^ Pour avoir les équations de cet axe, il suffit de chercher le lieu des points dont la vitesse Y est parallèle à OI :
en combinant ces rapports, on trouve que chacun est égal à — et aussi a
pU-\-qV-hTW »VoCOs(«, Vo)
Pour tous les points de CC, Y est égal à
"[pu 4-yi' + tiv),
SUA LA MlCAjriQVB HATIOVirBLLE. 187
OU k la projection de Vo snr OI. En comparant les deux dernières fractions (1)9 on trouve
A' — <y<p = Fpz -^pqy — (r» ■+• ^*)ar =/> (/?ar -4- g^ -h ra) — •»**,
ce qui permet d'écrire les «équations de Taxe de rotation et de glissement
•»'x -f- TV — qw »*j- -4- pw — ru v?z -h qu — pp
Les projections de l'accélération sur les axes mobiles s'obtiemient en ajoutant aux expressions trouvées dans le cas d'un point fixe les projections u^ i^\ w' de l'accélération du point O.
il5. Les composantes de la vitesse et de l'accélération se simplifient si l'on prend pour axe des x Taxe de rotation et de glissement, pour axe des z la perpendiculaire commune à cet axe et à sa position infiniment voisine, pour axe des ^ une perpendiculaire aux deux premiers^ la vi* tesse de l'origine à l'époque t-{- dt sera dans le plan des xjT] donc w' est nul, et il en est de même de i^, w, 7, r,
dr ^ X % y dp dtà - . ^ i dq ,
^î pest égal a w, ^ = ^ = «', et je fais-^ = ^^ avec ces coordonnées, les valeurs générales deviennent
Les composantes de la vitesse mettent en évidence le mouvement hélicoïdal; les points où la vitesse est la même sont snr un cylindre droit.
n existe un centre des accélérations, k moins que fùq' ne soit nul ^ le lieu des points dont l'accélération totale est K est un ellipsoïde dont le centre est le centre des accéléra-
l88 RECUEIL d'exercices
lions; Téquation, rapportée à ce point, serait
^'»z»-i- (»y -h »'z)'-f (qx — t»y 4- «>«)'== K-.
Comme le rectangle j^z manque, Tellipsoïde n'est pas de révolution : les cas particuliers se discutent aisément.
Le lieu des points où l'accélération a une directiou donnée est une ligne droite.
Les points où Taccélération est normale à la vitesse sont sur un hjperboloïde
w«'(/'-f- z') — tàq'arjr ■+- [uq' — <dv')z -f- uu'z=0.
Le plan des^z est un plan cyclique; le plan des xz coupe la surface suivant deux droites parallèles : selon qu'elles sont réelles ou imaginaires, l'hyperboloïde est à une ou à deux nappes.
Les points dont l'accélération est tangentielle sont à l'intersection des surfaces
ç'wz* — ca*i/j ■+- (««' — ««') z -4- up'= o, ^q'jrz -4- uq*x M- («tt' — utù')jr -f-c»'ttz = O;
la prenlière est un cylindre parabolique parallèle à l'axe des X, la seconde un paraboloïde dont l'axe a la même direction-, les deux surfaces ont une génératrice commune à l'infini dans le plan 2; = o : elles se coupent suivant une cubique gaucbe et non suivant une courbe plane.
116. Le mouvement infiniment petit d'un solide peut être regardé comme résultant de deux rotations autour d'axes non situés dans un même plan. En effet, soient AB la perpendiculaire commune aux deux axes , AP == p^ BQ =:: q les droites qui représentent les deux rotations, 0 leur angle. Menons AQ' égale et parallèle à BQ \ les ro-
SUR LA mécàhique kationnelle. 189
tations p et q' ont une résultante ÂR = («>, et
sin(M,^) sin(w,^) sin9
Décomposons p et q chacune en deux rotations, l'une parallèle, l'autre perpendiculaire à ÀR ; les rotations parallèles à AR ont une résultante tù = p cos (^j w) 4- y cos(y, w); l'axe de cette rotation rencontre AB à angle droit en un point 0 tel que, si l'on fait OA = a, OB = 4, AB r=: c, on ait
<7C0S(^, w) /? cos (/?,») tt
</' -f- pq cos 0 /?' -i- /;^ cos 0 "^ w*
Les rotations perpendiculaires à AR donnent un couple équivalent à une translation dont la vitesse V, parallèle à
w, esl
Virr ocsinfo, «) :=^c— sinô.
Il j a une infinité de manières de choisir les axes des deux rotations , de manière que le mouvement hélicoïdal résultant coïncide avec le mouvement élémentaire du solide. Les droites AP, BQ sont dites conjuguées; le déplacement de chacune d'elles peut être obtenu par une simple rotation autour de la conjuguée, en sorte que les plans normaux aux trajectoires de ses divers points passent par la conjuguée. De là résulte la construction indiquée par M. Chasles pour l'axe central, lorsqu'on connaît la direction des vitesses de trois points A, B, C : on mène en A, B, C les plans normaux aux vitesses de ces points^ les deux premiers se coupent suivant une droite (x(3, les deux derniers suivant ^y\ AB et a|î, BC et ^y forment deux systèmes de droites conjuguées. Menons donc la perpendiculaire commune à AB et
ipO BBGCSIL d'eXBBI:I€B»
à a^, puis cdle de BC et jS^; Taie central doit rencontrer ces deux perpendiculaires à angle droit ^ il est donclear plus courte distance.
£XEBGIC£S.
Étant donnés trois axes rectangulaires, un solide se déplace de manière que deux de ses points A, B glissent sur OX et OT, tandis qu'un plan contenant A et B et Hé an corps passe par un point fixe H de OZ ; trouver à chaque instant l'axe central. Soit C le quatrième sommet du rectangle dont les trois autres sont O, A, B; le mouvement du solide peut résulter d'une rotation autour de b parallèle k OZ menée par C et d'une rotation autour de AB : on prend pour variable l'angle de AB avec OX, et Ton compose les deux rotations.
En supposant que le centre de la Terre décrive un cercle d*un mouvement uniforme, tandis qu'elle tourne autour d*un diamètre qui reste parallèle à lui-même, trouver pour chaque position Taxe central, la vitesse de rotation absolue et de glissement, le lieu des axes centraux dans la Terre et dans l'espace.
Les tangentes aux trajectoires des divers points d'une droite farment un paraboloide ; les projections des vitesses sur la droite sont ^alea.
Quand une droite est tangente à la trajectoire d'un de ses points, il en est de même poor la conjuguée, et les deux points considérés sont sur la plus courte distance des deux droites.
