I. iA-\ >,— ^Bh *C = o

mais A -h B -+- C = ir, 5C = 5A -H JB ; donc

sin 2 A sin 2 B sin 2 C « P 7

2Â+2B+2C=2ir; construisons un triangle dont les côtés soient ot, {3, 7, ses angles seront les suppléments de A, 6, C ; mais cette solution n'est possible que si « <C P ^~ 7 ^ !3<^y-f-a, 7<^a-f-p. L'équation ( i) peut toujours être satisfaite en posant sin 2 A = sin2B = sin 2C = o, deux des angles 2 A et 2 B étant égaux à tt, et le troisième à zéro; on a mie position d'équilibre qui convient dans tous les cas.

203. Condition d'équilibre du genou, (Licence, 1860.) Le genou se compose essentiellement de deux barres OA, AB articulées en A ; Textrémité O est articulée en un point d'une droite fixe OX, tandis que l'autre extrémité B est assujettie à glisser sur OX. Une force F dans le plan OAB agit sur un point C de OA, tandis qu'une autre force R pousse le point B dans le sens XO ; étant donné l'angle (f de F avec OA, trouver la force R qui peut lui faire équilibre.

4^2 RECUEIL d'eICERCICES

Soient 9 T angle AOX, et OB = a: ; si Ton donne à x Faccroissement dx^ à 0 l'accroissement d$^ le théorème du travail devient

— F X OC sinç^Ô — R ^x = o.

D'ailleurs on a, par la Géométrie,

AB = OA -+- x' — 2 j:OA cosô, xSj: — OA(cos0^j; — jrsinô^O) = o;

éliminons $x et o9 entre cette équation et celle du travail virtuel, et nous aurons

R OC(.r-~ OAcos0)sin<p F"" .T X OA sinô '

la machine est d'autant plus puissante que 6 est plus petit: dans les appareils à frapper les monnaies OA = ÂB = OC.

fv ■9 F

o = 6 : alors R = - cot9.

204. On imagine une pile triangulaire de boulets splièriques parfaitement polis, dont la base serait retenue par trois murs verticaux formant prisme triangulaire; déterminer la pression exercée contre chaque mur.

Soient n le nombre des boulets qui forment un côté de la tranche inférieure, a leur rayon ^ écartons virtuellement tous les boulets de la tranche inférieure de manière que la distance des centres de deux globes contigus deviennent 2(a-Hc), et que le centre O du triangle circonscrit à la base ne bouge pas. Les côtés du triangle formé par les centres des boulets qui sont au périmètre de la tranche inférieure augmentent de 2(n — i)e, et chacun de ses côtés doit s'avancer à rencontre du mur de — =^-fi ^ si donc on remplace

la fixité des appuis par l'adjonction d'une force F qui produise le même effet, au recul des parois correspondra un

Stm LÀ MÉCÀiriQUE RATIOKNELLE. 4^^

trayail virtuel — {n — i)eF^'3. D'autre part, soient D le centre d'un boulet de la deuxième tranche reposant sur trois de la première dont les centres sont A, B, C ^ I le centre de ABC ^ la hauteur de D au-dessus du plan ABC

était d'abord y 4^' — AI ; AI augmentant de aAI = -y=j la distance de D à ABC diminue de

telle est la cjuantité dont chaque tranche se rapproche de celle qui la supporte. En tenant compte de l'abaissement des diverses tranches et du nombre de leurs boulets, en appelant P le poids de l'un d'eux, on a le travail virtuel de la pesanteur

■... + (« — oj

— («— 0^(^ >4-l)(/?-f-2) Pf

En égalant ce travail au travail résistant des parois, on en tire

Pour une pile à base carrée, on a, dans des circonstances analogues,

205. Un point pesant M est attiré vers deux points A et B proportionnellement à la distance; il est porté par une tige sans masse qui peut tourner autour du point 0, milieu de AB", position d'équilibre; reconnaître si l'équilibre est stable ou instable.

Pour décider de la stabilité de l'équilibre d'un système, on peut supposer les divers points légèrement écartés de leurs positions d'équilibre, chercher les forces auxquelles ils sont alors soumis et la nature de leurs mouvements, en se bornant aux termes principaux des équations que l'on obtient-, on voit si les points tendent à osciller auteur de leurs positions d'équilibre ou à s'en écarter de plus en plus. Mais Lagrange a établi une règle qui suffit souvent: supposons que le travail correspondant à un déplacement virtuel quelconque du système soit la variation exacte d\ d'une fonction dite Jonction des forces : quand V passe par un maximum, il y a équilibre stable ^ quand il est minimum, l'équilibre est instable.

Dans le cas proposé, on peut admettre que, pour l'équilibre, M doit être dans le plan vertical qui contient AB. Appelons 6 l'angle dont OM a tourné en partant de la direction OA et commençant par passer en dessous; aies distances OÂ, OB; c la longueur OM , X et fx les attractions de A et B sur M à l'unité de distance, P le poids de M; on a pour expression générale du travail virtuel

^V=— XAM^AM — pBM^BM -H P^(csinO)

= Pccosô^ô — ^^(xÂmV ftBM*) ;

mais AM =fl*-hc* — aaccosO, BM =a*-f-c*-f-aaccosfiî

donc

9V = [a[fi'-'k) sinO -h P cos9]c9B ;

p dY s'annule pour tango = — ,- : : on a deux valeurs de 6,

SUR LÀ MÉCANIQUE RÀTIOlfflfELLE. 4^^

a et ir + a. Pour savoir si l'équilibre est stable, comme la fonction Y existe et ne dépend que d'une variable, prenons

(^Vr:r[«(p — \)cosO — Psinô]c^e»=:[a(p—X)cotô~-P]csinOW;

la parenthèse se réduit à — — (f* — X)" — P pour les valeurs ,

de 0 répondant i l'équilibre. Si donc on prend 9 = a <[ ir, J* V est <::^ o, V maximum, équilibre stable -, pour fl = ir 4- «, V minimum, équilibre instable.

Principe de d'Alembert.

206. Dans tout système en mouvement, il y a à chaque instant équilibre, en vertu des liaisons, entre les forces extérieures appliquées au système et les forces d'inertie, c'est-à-dire les forces égales et de sens contraire à celles qui donneraient à chaque point supposé libre le mouvement qu'il a réellement; pour le point de masse m et de coordonnées x, j-, z, les composantes de la force d'inertie

sont

dl* dO dt^

Ce principe, l'un des plus importants de la Mécanique analytique , ramène la Dynamique à la Statique. En exprimant l'équilibre idéal qu'il indique à l'aide de l'équation du travail virtuel et considérant tous les points d'un système en mouvement, on a

)x, djf^ Sz sont les projections rectangulaires d'un déplacement virtuel compatible avec les liaisons, telles qu'elles existent à l'instant indivisible t. Si les liaisons changent

4^6 EECDEIL d'exercices

avec le temps, ces déplacements peuvent être irréalisables. Quand les équations de condition sont

/i(^"a:,jr, 3, ■»!,. . .) =o, /2 = o, ...» /« = o,

on a des relations de la forme suivante :

df ^ df ^ df ^ df ^ dx djf dz dXi

Ajoutons à l'équation (i) les équations analogues à la précédente, multipliées par ^i v? ^n) et annulons le coefficient de chaque variation,

d^x . df^ , -i ^fn

^ dy df, d/,

dt^ dy dy

La liaison y*= o produit des réactions dont les composantes, appliquées au point {^x^y^ ^), sont Xy]J, X^', X//, et ainsi aux autres points.

207. Le lecteur pourra appliquer le principe de d'Alembert aux problèmes que j'ai développés sur le mouvement des systèmes; je prends seulement un calcul qui sert à trouver les pressions exercées sur deux points fixes par un corps tournant autour de la droite qui les joint 5 ce sont les résultantes des forces extérieures et d'inertîe. Je me borne à composer ces dernières. Reportons -nous aux notations du n® 182 : les composantes de la force d'inertie du point m sont, la rotation ayant lieu autour de Taxe des z^

dt^

SUE LA XÉCAIIIQUE ftÀTIONlVELLE. 4^7

Si Ton transporte ces forces à Torigine, on a une résultante

et un couple dont les composantes, situées dans les plans coordonnés, sont

208. Un point matériel M est renfermé dans un tube circulaire horizontal dont le centre reste fixe et dont le rayon augmente proportionnellement au temps; le point étant mis en moui^ement, déterminer sa trajectoire et sa pression sur le tube.

Le rayon du tube peut être représenté par r=za-hbt'^ la pesanteur est la seule force extérieure qui agisse, et l'équation de d'Alembert devient, en prenant Taxe du cercle pour axe des z^

Les coordonnées du mobile sont assujetties aux relations

Prenons les variations, en regardant t comme constant,

«^.r-H^J^ = 0, Jz = o.

Ajoutons à l'équation (i) ces équations multipliées respectivement par X et V, et égalons à zéro le coefficient de chaque variation,

(3) lx = m — , \jr = m — y V=mg + m — .

Eliminant X entre les deux premières, on obtient

d^Y d*x dy dx ^

dt^ -^ dt^ ' dt -^ dt

On remplace x, y par les coordonnées polaires r, 9, et Téquation précédente devient

c^^=zr

dt ^ ' dt

Intégrant et faisant 6 = 0 pour t = o, on trouve

, = til L\, L = l = if9-ilV,

h\a a-\-btl a-k-bt r c* \ ah)

la trajectoire est une spirale hyperbolique dont l'asymptote

fait l'angle — avec Taxe polaire, et le pôle est à Torigine.

Les équations (3) font connaître l'action du tube sur le mobile. Comme 2^ = 0, on a d'abord X'== nig\ puis, en ' combinant les deux premières,

/ i/x dr\ îdxd^x dr d^r\ d(\ \

\ dt -^ dt ] \dt dt* dt dt^ ) dt\ik j

OU, en tenant compte de ce qui précède,

^ dr d \ f , c*\ ma dr m^

dt dt 1 \ r^j r» dt r^

La pression exercée sur le cercle sera égale et de sens contraire à la force qu'on vient de calculer^ elle a une composante verticale égale au poids de M, et une composaote

— dirigée suivant OM prolongé.

209. On donne deiix petits poids égaux. A, B, assajettis à rester, le premier sur un plan incliné P, le second sur une verticale D, et s' attirant proportionnellement à

SVR LA MÉGAHIQTJE RÀTIOITlfELLE. 4^9

la distance; déterminer leurs mouvements sans tenir

compte du frottement. Cas particulier : l'angle i de P

avec l'horizon a pour sinus j > les positions initiales de A

et B sont celles qui conviendraient à l'équilibre, et la vitesse initiale de A est telle, que ses projections sur une horizontale et sur une ligne de pente de P soient égales chacune à la vitesse initiale c de B. (Licence, 1 874*}

Je prends pour origine le point d'intersection de D et de P, pour axe des x la ligne de plus grande pente qui y passe, pour axe des j^ une horizontale de P, et pour axe des z une normale au plan dirigée en dessous ^ je suppose les masses de A et de B égales à Tunité, et j'appelle y} leur attraction à l'unité de distance \ les coordonnées de A sont ■^îJTî ^1 celles de B x'^ o, z'. Il est facile d'écrire l'équation de d'Alembert, où manquent iz et $j\ qui sont nuls \

;0 { -+-rp'(^-^')-+-^sini— -^J^o/

-t- \g cosi — p'z'- -^ j $z'= o.

Au lieu de prendre la relation z' =z x'coti, que la figure rendrait évidente, il vaut mieux considérer la distance OB = r, qui donne x'= rsini, z'= rcosi, dx'= siniJr, iz*z=. cosiâr. Égalons à zéro les coefficients de Sxy Sj- et dr dans l'équation (i), et nous aurons les équations générales du mouvement

~ = p»(rsin/ — ;r) -h g Uni, ^ = — f*'r.

— =^-h^'(xsin/--r).

43o RECUEIL d'exercices

Soient a, P, p les valeurs de x^y^ r qui conviendraieni à rëquilibre*, on peut les calculer à Taide de l'équation du travail virtuel, qui n'est autre que Téquation (i), où Ton

aurait supprimé -jy» • • • 5 on en conclut un système d'équations correspondant au système (a) :

(3) p*{psini — a)-f-g^sin/=o, p = o, p'(asîni — p)-f-^r=o.

Ces équations donnent a, j3 et jO. Posons

et retranchons les équations (3) des équations (a)^ -j-^=fA»(r,sm/-x»), ~- = — p>jr„ . = ^»(ar.sini~/-.;.

On remplace la première et la dernière par celles qu'on obtient en les ajoutant ou en les retranchant membre à membre,

L L = - p»(i sin/) [x, 4- r, ),

^i ^=-;i»(i4-smO(^.~r,).

Toutes nos équations s'intègrent séparément, et donnent pour les inconnues qu'elles renferment des valeurs périodiques. Dans notre cas particulier, oti, j^i, ri sont nuls à l'instant initial \ leurs dérivées par rapport à t ont alors la

valeur commune c, et, comme i — sini = j> on trouve que

les intégrales générales se réduisent ainsi :

c . Ac . i

7i=:-smpif, a:, 4- Tin; — sm-u/, a:, — r, = o. P pt 2

L'équation de la trajectoire de A s'obtient en éliminant fit entre les valeurs de Xi et de ji : fx*j?J = 4c'(arJ — j]).

suit LA KÉCAiriQTIE RÂTIOirNELLE. 4^1

Prenons des coordonnées polaires u et 0 avec le point a, |3

pour pôle,

sc'cossO

oos<6 ^

c'est une courbe du quatrième ordre, qui ressemble à une lemniscate de Bemoulii.

210. Déterminer le mouvement d'une chaîne homo^ gèncjjlexible, très-mince, mais pesante, placée sur deux plans inclinés dont l'intersection est horizontale, et devaut rester dans un plan perpendiculaire à cette inter^^ section.

Soient OP, OQ les deux lignes de plus grande pente sur lesquelles glisse la chaîne \oi^^ leur angle avec Thorizon \

la longueur de la chaîne, e la masse de l'unité de longueur, X la portion OA de chaîne qui est suivant OP5 la longueur OB, suivant OQ, sera égale à / — x. Pour un déplacement virtuel ^x, la somme des travaux des forces d'inertie et de la pesanteur sera

I tgxmïoL — tg[l — xjsinB — '«"jr K^*

Égalons ce travail à zéro, divisons par tdx^ et faisons ^(sina -f- sinjS) = la^ :

-— — à^x -4- ^ sin p = o.

Les intégrales sont

dt ^ '

irsinS /sin6 . ^, « __,

à* sma-+-sinp

on peut toujours supposer, en prenant pour notre premier

43 a RECUEIL d'exercices

plan incliné celui sur lequel la chaîne descend d'abord,

dx que la valeur initiale de — soit ^^o !> o*, les constantes sonl

déterminées par les relations

— = A — n^ ar, ; r—z = A -f- B,

a sma + sin^

On a toujours A >• B. Si A >> o, la vitesse ne s'annule pas, et toute la chaîne passe sur OP^ ensuite son mouvement devient uniformément accéléré^ mais, si A <^ o, la vitesse s'annule quand Ae*' = Be""***^ alors on a

/sinB

sm^H-sma

La chaîne n'est pas tout entière sur OP*, après s'être arrêtée, elle rebroussera chemin et continuera indéfiniment son mouvement sur OQ. La tension en O est à un instant quelconque

d^x tgxil — ;i:)(sina -f- sinB) f^arsma — tx-^ = -^-^ LL îli;

son maximum a lieu quand a: = -9 alors

T = jcg^/(sina-t- sinp).

Pour que la chaîne fut en équilibre, il faudrait avoir

/sînfi sina + sinp

et la tension en O serait

sWsinasînâ

i^xsma = -? , . ^\

sma + smp

cette tension est moindre que la précédente.

SV% LA MÉCiHIQtJE EATIOmELLE. 4^3

tqnatioiiB de Lagrange.

211 . Supposons que la position des diverses parties d^un système puisse être déterminée par certaines quantités, ?i9 7t) • • - 9 Çn\ les coordonnées des points du système sont liées à ces variables par les relations

(l) ar=/(f,^„^„.. .,^«), r=/{^^if-)

Lagrange a donné une formule pour transformer en fonction des inconnues q l'équation générale de la Dynamique, fournie par le principe de d'Alembert,

Uoe simple substitution, sans artifice, donne au second membre la forme

Pour transformer le premier, considérons la demi -force vive du système, où Z s'étend à tous les points,

Noos désignons par des lettres accentuées les dérivées par rapport au temps, et par d la caractéristique des dérivées partielles. Le premier membre de l'équation (a) peut s'écrire

Calculons le coefficient de dçi^ savoir :

Ree. — Db S.-G. 20

434 RSGUIBIL D^EXERCICES

Je différentie la première équation ( i ) par rappcM't au temps :

Commey*et ses dérivées partielles ne renferment pas les q[^ cette égaillé donne

bx ^jr'

bqi ~" Iq'i '

donc la somme que j'ai représentée par Â^ devient

Î)T Ix' Î)T

^ ba:f "bq^ "^q'^

puisque T ne contient les q' et les q que par Tintermédiaire de x\y^ z\. . .. On arrive à la valeur de B,- en différentiant l'équation (3) par rapport à qi

^qi

:>q.^qi^''^'

^qn^qu"

^qi^q

"de

^qi'

donc

^'^ bT d ^ ^ DT Jj:' DT

Connaissant les deux parties du coefficient de âq^^ on a immédiatement la transformée de l'équation (a) (les £ se rapportant ici aux q) ;

Généralement les qi sont variables indépendantes, et les coefficients de leurs variations doivent être égaux dans les deux membres ; il en résulte les équations de Lagrange, qui donnent une solution uniforme des problèmes de Djna-

SUR LA XÉGAKIQX7E KATIOKNELLB. 4^5

mique. Qaand il existe une fonction des forces ou que X= r— j • - • > on a Q,- = -— 5 et les équations de Lagrange deviennent

On peut garder la même forme quand X^x + Yd[;^ + . - . n'est plus une variation exacte \ alors — est un symbole

tel que ^ dqt soit le travail virtuel correspondant au déplacement dqi^ ce qui peut donner le moyen de le calculer directement.

Quand la fonction V existe, elle ne dépend point de t ; si Ten est aussi indépendant, on peut, des équations (4)) tirer l'équation des forces vives ^ ajoutons ces équations multipliées respectivement par dqi^ dq^^ . . . ,

DT ^ . Î)T mn DV

2»wS-2*S=2g^.='"

Comme T est fonction homogène du second degré des q\ on a

et l'équation (5) devient

ndT — £fT = dV, T — V = const.

212. J'applique d'abord les équations de Lagrange a deux problèmes qui ont été traités autrement, et j'engage le lecteur à multiplier ces applications. Reprenons le

436 RBCUBIL d'eXEECICES

problème 155-, je choisis des axes fixes : OXi suivant Taxe de rotation, OYi horizontal et perpendiculaire à OXi, 0Z| vertical. Les coordonnées du mobile M s'obtiennent aisément^ en se reportant aux notations du n^ 155, on trouve

a:,= rcoSff,

jri=^ rskktf coscj^ — asinoif,

z^ = rsin^ sin«»^ •+- acostùt,

La masse de M étant i , la demi-force vive est

d'où, en revenant à la caractéristique d^

dT , . dl

-T-T ^=^ r — ao» sino, -;- = r»' sm'o.

dr ' dr

D'ailleurs, pour un déplacement virtuel compatible avec les liaisons, la pesanteur donne seule un travail

^V = — gàz^ =. — ^^rsin^ sinuf.

Les équations de Lagrange se réduisent à une seule

rw'sm'f -h ^sin^smft»^ ==o;

c'est précisément l'équation différentielle qu'on a trouvée et intégrée. La méthode actuelle, très -avantageuse pour tcouver le mouvement, ne fait pas connaître les réactions, qu'elle a justement pour effet d'éliminer.

Reprenons aussi le problème 170^ la force vive a été calculée

aT = (m -H m' -h fx)r'* + mr» sin'f 6'»,

— = (/7i|-m'4-p)r', — =:mrsin'çr»,

^T dT

^r-mr'sin'yG'. — =. o.

Sun LÀ MÊCÀBIQUE hàtiohrblle. 4^7

En outre, JV = ^(iîicos<y — m')ir\ donc

dV , ,. rfV

— =g{mcos,-m), --=o.

Les équations de Lagrange sont au nombre de deux : (m-t- /n'-h fA)-T /nrô'*sin'y=^(/?icosf — m'), — -/•*ô'=o;

la seconde donne l'équation des aires, et, en la combinant arec la première, on retrouve celle des forces vives.

2i3. Un tube circulaire très-mince est assujetti à rester dans un plan vertical et à rouler sans glisser sur une horizontale de ce plan; une petite bille M peut se mouvoir sans frottement à l'intérieur du tube. Déterminer le mouvement du système en supposant nulles les vitesses initiales du tube et de la bille*

Je prends pour axe des x l'horizontale fixe, pour axe des j" la verticale qui passe par le point de contact initial de Tanneau avec OX. Soient, à l'époque t, C le centre du cercle, CI le rayon qui va au point de contact avec OX, A le point de la circonférence qui a été le point de contact primitif, a le rayon de l'anneau, 0 l'angle ICA, f Tangle ICM; je suppose CM et CA situés de part et d'autre de CI. L'abscisse de C est a9^ les coordonnées de M sont

(i) j: = a(e-l-siny), j = a(i — cosf);

m étant la masse de la bille, sa force vive est

m{x'»-4-y») = ma' ( 0'* -4- ^'*-H 2ÔYcos<p).

Le mouvement élémentaire de l'anneau est une rotation autour de I avec la vitesse 6'^ fx désignant sa masse, le moment d'inertie par rapport à une perpendiculaire à son

438 RficuEiL d'exeecices

plan, menée au point I, est ajuia*; donc, tout de suite,

Nos variables q sont ici B et cp, et les dérivées partielles

^ =:ma'(0'4- <p'cosç) -f- 2/xfl»ô', — =0,

wT , . «T , , ,

-—7 = ma^ ( cp -h 0'coso), -7" = — /wa'ÔYsm*.

Comme le tube ne glisse pas sur OX, le frottement qui se développe en I ne produit pas de travail virtuel pour ud déplacement compatible avec les liaisons, et dV se réduit ici à — mgdy=i — mga sincp Jap. Les équations de Lagrange deviennent

d /dff' d9'\

-- [m(ô'-4-ç'cosç)H-2pô'] = o, ^[-j- -hcosy — I -hgsin^=o.

On en déduit l'intégrale des forces vives -, a étant la valeur initiale de 9,

(2) /na (Ô'* -f-f'*-|- 2 O'f'cosy)-!- 2 paô" — 2m^(cosf — cosa)=o.

Quant i la première du groupe, elle s'intègre toujours une fois; mais, s'il n'y a pas de vitesses initiales, l'intégrale se simplifie :

(3) /n(G'-i- ç'cosç) + 2fiô'=o.

On peut alors intégrer une seconde fois ;

(4) m(G -f- sin^ ) -f- 2piô = /?isina.

Si l'on élimine 6' entre les équations (2) et (3), on trouve

(5) e^~ my^cosy^ ,.^.. /^g" (m4-2fA) (cosy-cosg) ^ ' m-h2u ' V^ msin^y4-2f*

SVK LÀ MÉCANIQUE JUTIOHHELLE. 4^9

Il est éTident que f diminae d'abord, il décroîtra jusqu'à

- /i . 1 / ^ /% 2msin« — a; pendant ce temps , d ira de zéro a 7i = » valeur tîrée de l'équation (4) pour y = — a; x décroît de asîna à a ^sinaj y va de a(i — cosa) à zéro, puis

revient à sa valeur primitive. Dans un intervalle de temps égal au premier, f , S, Xj y varient dans un sens opposé, et l'on a une suite d'oscillations. La trajectoire de M s'obtient en éliminant (f et 9 entre les équations (i) et (4}

c'est une ellipse tangente à OX et dont le grand axe est vertical \ mais il n'y a de parcouru que l'arc au-dessous de la droite jr = a ( i — cosdc) .

Le temps d'une demi-oscillation s'obtient en intégrant la seconde équation ( 5 ) ^ on est conduit à une intégrale transcendante^ mais, si l'on suppose que a et cp soient assez petits pour négliger leurs carrés et que m ne soit pas beaucoup plus grand que afx, on trouve

dt V

g[m + 2fx)(a' — y») 2fia

t,= f ^dff=:iri/^ ^.

21 4. Vnjîl sans masse, fixé à l'une de ses extrémités O, porte deux petits poids A, B, attachés à des distances différentes du point O^ déterminer les oscillations du système, quand on l'écarté de sa position d'équilibre, de manière que les deux portions du fil restent tendues et ne sortent pas d *un plan vertical donné.

(Agrégation, i844)

Soient a el h les longueurs OA, AB; f et ip les angles qu'elles font respectivement avec la verticale; m, n les masses de A et B -, on a

La pesanteur est la seule force qui donne un travail virtuel

9y = — mga sînffSff — ng(asïntf9f -t- b sin^^^^ )•

Les équations de Lagrange deviennent, après de simples réductions,

— ^^\Zr) ^^^^(4* — ç) -f- (/n -h «jg'sinf =:o,

d^^ d^9 (doY

^'dF^^'d^ cos{4, - ç) - « ^^ j sin(>li - y) H- ^sin^l» = o.

On a l'intégrale des forces vives, mais on n'aperçoit pas d'autre intégrale première rigoureuse. Dans le cas des petites oscillations, en négligeant les termes du troisième ordre par rapport à ç, ^^ 9', ^j;', cp", ^(/', les équations deviennent

(m-t-/i)fl^ -^r nb-^ ^ [m -{- n)g^ = o, ^ ^ \rf»+ d^f

Cherchons à y satisfaire par des valeurs (p = e^, <p=Xc^*:

ar*

on doit avoir \ = -r-- j et

br^-^g

(2) (m-f- n) [ar^ -^ g) [br^ -h g) —nabr^zno.

L'équation en r' admet deux racines, l'une inférieure a — ^ et à — •—> l'autre supérieure à ces deux quantités,

S1TR LA MÉGAiriQUB KATIONNELLE.^ 44 <

mais encore négative. Si ces racines sont -^rj, — rj, les intégrales du système (i) seront

f = A cosr, r -h B sinrj r -H C CGsr^r 4- D sinr^r,

^= 1— (Acosri^4-Bsinr|f) h î-— fCcos/,< -t-Dsînr,f).

Quand les vitesses initiales sont nulles, il en est de même de B et de D ; et, si ael^ sont les valeurs primitives de (p et tjf, on a, pour déterminer A et G,

^ Aar\ Cari

g--brl g—br\

Pour que les deux portions de fil oscillent comme des fils de pendules simples, il faut que A ou C s'annule; soit G. Les conditions précédentes donnent alors

substituant — r\k r* dans l'équation (a),

(m -h /î)aa*-h [m-^ n)[b — «)«P — /îiftp» = o.

On a toujours pour - deux valeurs réelles de signes con-

traires \ la positive est <^ i; pour toutes deux, -

ç = a cosTi f, 4* = P cosri t

Les oscillations des deux fils se correspondent, mais leur amplitude est différente; leur durée

— = 2iri/- (£»4- aï)

44^ ^ RECUEIL D*EXB11GICE8

est comprise entre les durées d'oscillation des pendules simples de longueur b et a-h b.

J'indique seulement un problème tout à fait analogue aa précédent :

Un tube circulaire, mince et homogène, peut se mouvoir dans un plan vertical autour d'un point de sa circonférence; il renferme une petite bille qui peut se mou\foir sans frottement à l'intérieur ; déterminer les oscillations du système quand on l'a écarté de sa position d'équilibre.

Soient jx et m les masses du tube et de la bille, O le point fixe, G le centre du cercle, R son rayon ^ on peut déterminer la position du système par l'angle S de CO avec la verticale et l'angle f de CM avec OC prolongé. On trouve aisément

?.T= 2 pR» Ô'» -+- m 14 cos» i ^0'> -f- f » -f- 4e>' cos* - A K\

^V = -— p^R sine Jô — mg'R[sin0^9 H- sin(9 -f- ç) (^ô -f- ^y)],

et l'on en déduit deux équations analogues à celles du pendule double.

21 S. Une sphère est animée d'une très^-grande vitesse de rotation autour d'un de ses diamètres, qui peut tourner dans un plan horizontal autour de son milieu; déterminer le mouvement que prendra l'axe sous l'influence de la rotation de la Terre.

La force centrifuge composée ne produit pas de travail effectif, mais elle peut donner un travail virtuel, parce qu'elle n'est pas normale aux déplacements virtuels des points où l'on doit l'appliquer. Pour évaluer ce travail plus aisément, composons toutes les forces centrifuges composées appliquées aux points d'un solide de révolution qui tourne avec une vitesse relative ci) autour de son axe. Je

sua LA MÉGAiriQUE RATIOHNELLE. ^ 44^

prends le centre de gravité poui* origine, l'axe pour axe des z, deux droites perpendiculaires pour axes des x et àesy^ soient p^ q^r les composantes de la rotation d'entrainement; celles de la vitesse relative d'un point sont — Gdj, oi)x, o. La résultante de translation des forces centrifuges composées a pour projections [voir n^ 113)

X ^=f7. r»xdm = o, Y =^f7,rv^ydm = o, Z z=zJ^fA[ — qy — px)dm=^o.

Les projections de l'axe du couple résultant sont

L = — 2â*J*é/m[^(gj -hpje) -i- arf ] ^=- — tiq^J'y^dm^ M= HêiJ'dmlzrx -h x(qjr -^px)\=z • npfùjx^dm^ N = o;

'^Jx^àm et 'xfy^dm sont égaux chacun au moment d'inertie fx par rapport à un des rayons de l'équateur. Le couple a son plan parallèle à l'axe de la rotation relative o) et à celui de la rotation d'entraînement. On peut le former avec une force juico, agissant suivant OZ, et une force égale, parallèle, mais de sens contraire, appliquée au point de| coordonnées p^ 9, ^î c'est-à-dire à l'extrémité de l'axe de la rotation d'entrainement.

Cela posé, prenons pour axe des x la tangente au méridien terrestre dirigée vers le nord, pour axe des y la tangente au parallèle dirigée vers l'est, pour axe des z la verticale montante^ soient OA le rayon de la sphère qui reste horizontal, vp l'angle XOA, f l'angle dont la sphère a tourné autour de OA à l'époque t. Le mouvement apparent du solide résulte des rotations i^' autour de OZ et ç' autour

deOA^ T =-jtJi(cj>'*-H^p'*). L'axe instantané ne coïncide

pas avec OA, mais on peut négliger leur écart si 9' est très-

grand. Soient n la vitesse de la rotation diurne, X la latitude^ le couple résultant des forces centrifuges composées peut être formé approximativement par une force f 'fA suivant OA, et une force F, égale et de sens contraire, agissant au point M de coordonnées — /icosX, o, — n sinX^ à une rotation i(f correspond un travail nul, car F est normale au déplacement de M^ la rotation S^ fait décrire à M un arc ncosXdtp parallèle à OY, mais de sens contraire, et Ton a un travail virtuel fif'ncos'ksm^d^. Les équations de Lagrange sont

~ z=z o, -i /!• cos> sm4> = o.

de dt ^ ^

La vitesse de rotation f ' autour de OA est constante; quanl à 4^9 îl varie suivant la loi d'un pendule simple de longueur — ,- — r ; OA tendra à se rapprocher de la partie sud de la méridienne, et ses petites oscillations auront lieu dans

le temps - A Paris, pour une vitesse de 4o tours

V«y' cosX

à la seconde, le temps d'une oscillation complète est d'environ 56 secondes, ce qui a été vérifié par Léon Foucault.

Équations d'Hamilton et de Jacobi.

216. Les équations de Lagrange conduisent & un autre système d'équations de forme remarquable, dans le cas. commun à beaucoup de problèmes de Dynamique, où il existe une fonction des forces. Y, et où les liaisons sont indépendantes du temps. Conservons les notations du n® 206 et posons, en outre.

N~r — /'Il r~ — pji •••5 c— ;

si Ton tire de ces équations les valeurs des q' et qu'on les substitue dans T, la demi-force vive sera exprimée par une fonction connue des q et des p. Quand nous prendrons ces quantités pour variables indépendantes, nous désignerons les dérivées partielles par la caractéristique d^ réservant la notation d pour le cas où les variables indépendantes sont les qi et les q[. La différentielle totale de T peut s'exprimer de deux manières :

D'autre part, les liaisons étant indépendantes du temps, les dérivées des coordonnées des points du système par rapport au temps s'expriment par des fonctions linéaires homogènes des q*\ T est donc une fonction homogène du deuxième degré de ces mêmes q\ et le théorème relatif à de pareilles fonctions nous donne

Prenons les différentielles totales

ld1z=^ lpidq\ 4- 2 q\dpi,

rajoute membre à membre les équations (i) et j'en retranche la précédente; il reste

Le» différentielles éunt indépendantes, le coeflScient de

chacune doit être nul :

^qi ~ dqi

(^) "fi-Tt-d^;

Revenons aux équations de Lagrange : la fonction V étant indépendante des 9' et des p, on a

D^/ dqi dpi

une quelconque des équations de Lagrange devient

dpi dl dV

dt dqi dqt

On considère la fonction V — T, et Ton pose, avec Hamilton,

(3) V — T=iK^i,^a,. . .,^., p,,/?i, . . .,/?«) =H,

Les équations de Lagrange, modifiées comme on vient de le faire, et les équations (2) nous donnent les équations du mouvement sous la forme canonique

dp, __ dn

dp^ rfH

dt dq,^

dt '^ dq^^

dq, ^H dt dp^

dqt dYL dt "" dpt'^

dpn

rfH

dt '

~ dq^

dt "

dp^

Les systèmes d'équations simultanées de cette forme, où Ton pourrait supposer que H contient explicitement la variable f,'ont donné lieu à d'importantes découvertes, faites notamment par Poisson, Cauchy, Hamilton, Jacobi, MM. Bertrand et Liouville; je me borne à exposer le théorème le plus célèbre, dû à Jacobi, en me restreignant au cas de nos problèmes où H ne contient pas t explicitement

SUB LA MÉCÀNIQtTE HATIONNELLE . 447

et garde une valeur constante, — X. Jacobi prend l'équation aux dérivées partielles

oà ^ désigne la fonction (3 ), dans laquelle on a changé les p dans les dérivées partielles de la fonction inconnue S : Si l'on peut trouver une intégrale de cette équation avec n — I arbitraires autres que celle quon peut introduire par simple addition, soit

S = F [^19 qjy • . • , q^y «Il «1» . . . , oc»— 19 X),

on aura immédiatement les intégrales générales du système (4)9 qui seront

./r» d¥ d¥ dY

Pi, Pt, . . . , j3„|, e étant n nouvelles arbitraires.

Ces équations renferment le nombre voulu, an, d'arbitraires, et nous allons voir qu'elles conduisent au système (4). Différentions la première du groupe (6) par rapport à t, puis intervertissons Tordre des dérivations^ enfin, tenons compte des équations (7) : on a successivement

-^ d^Y dqj ^ d^T dqi y^^idqt

^ 2d doL^dqi Ht '^ 2ià dqidoLy, lÛ "^ J^Jdâi "dt ^

on obtient ainsi un groupe de n équations

/ox V ^P' ^^' ^ V ^P' ^^^ ^ X}^Pt ^^i

'^> 2^^:57=° 25c^dr=°' 2dxÂ = '-

D'autre part, puisque S = F est une solution de (5), on a

448 EBGUEIL d'exercices

l'identité

/ dV dF \

DifiSérentions par rapport à a^ ««,..., a„i, X, etrempla-

dF çons — par pi^^ et ainsi de suite on a n équations

^ d^ dpt "«^ d^ dpi 1^ ^i|f dpi

^dpidât'^^^'"* 2d dpi dat^t " °' 2à'^i'dk "^^ '

Ce groupe ne diflere du groupe ( 8 } que par le changement

des -^ en -r^; comme tous deux sont linéaires, par

dpi dt

rapport à ces quantités, celles-ci doivent être respectivement égales, ce qui donne les n premières équations (4)- Différentions la première équation (7) par rapportât, et transformons comme nous Tavons fait pour les équations (6), on a

^' — V ^^ rfy/ '«^ <^F dqi yçdpi dqi

dt JLdqtdqi 'dt JLdqidq^ 'dt ^dq^^ dt '

On peut remplacer -J^' par — ^ 9 d'après ce que Ton a déjà vérifié ; il vient alors

dt ^ dpi dqt

Mais différentions l'identité (9) par rappoit à ^i, et remplaçons les — par les pi,

d^' , yr/>|i àpi ^ dqi "^ ^ dpi dqx

La comparaison de ce résultat avec l'égalité précédente

SDR LA MÉCANIQUE RATXOHNELLE. 449

justifie la première équation de la seconde moitié du système (4)9 ®^ P&^ suite les autres analogues.

Quant à l'intégrale F, on n'a pas de méthode générale pour l'obtenir^ mais, en choisissant convenablement les inconnues du problème , on peut séparer Téquation (5) en plusieurs autres à une seule variable indépendante, et trouver une intégrale avec n — i constantes, comme on le verra aux applications qui suivent.

217. Je commence par un problème tout à fait simple, mais pour lequel on pourra former sans aucun embarras toutes les équations précédentes, et y lire des résultats bien connus. H s'agit de déterminer dans un plan vertical le mouvement d'un point pesant de masse m. Je prends»pour q^ et ^, les coordonnées rectangulaires de m. Taxe des q^ étant dirigé dans le sens de la pesanteur. On a

d'où Ton déduit

p, = mq\, p^r=:zmq\, T == — (/^J ^^7^)

D'ailleurs V = mgq^^ donc

n = mgq^^ — [p]-hp\]

Les équations canoniques sont

dt'~ ' dt'^ ^' dt '^ m' dt'^m

Rien de plus facile que de trouver et de reconnaître les intégrales de ce système \ mais voyons celles que fournit le

De S.-G. — Rec. 29

45o EEGUEIL d'exercices

thëorème de Jacobi. L'équation en S est

Cherchons à y satisfaire en prenant S =y(yi) H- 9(^1); iJ . suflSt que l'on ait, en désignant par a une constante arbi-

traire.

?''(^i) = a/n^ê^l^iH- a), /'*(<?,) = 2m(X — mga).

On a par de simples quadratures /(çi) et ?{yi), et leur somme , ^

Les intégrales (6) et (7) deviennnent

La première donne la trajectoire parabolique, la seconde la loi du mouvement et les deux autres les dérivées pi et pt ] on peut vérifier que

R=imgqi [2m(X — mg'a) -4-- a^m^'^j-f- «]]= — 1.

Les constantes X, ^, |3, e se déduisent des circonstances initiales.

218. Etudier dans un plan le mouvement d'un point M attiré "Vers deux centres fixes F ei Fi, a\^ec des intensités réciproques au carré des distances» 1

SUR LA MÉGÀiriQUE RATIONirELLE . ^Sl

Supposons la masse de M égale à ronitéetFFi= ^c] on peut définir la position de M en se donnant ses coordonnées Xj jr par rapport à la droite FFi et à la perpendiculaire en son milieu, ou les demi-axes focaux ^, ^i de l'ellipse et de l'hyperbole qui passent en M et ont pour foyers F et Fi^ ces deux systèmes de coordonnées sont liés par les relations

on en conclut immédiatement

T=i(*'»-f-/')=i2;=4î"+i$ii4gr.

Les dérivées partielles sont

On pourra exprimer T en fonction dep et de pi\ d'autre part, avec des notations dont le sens est bien clair, on a

mais les propriétés focales de l'ellipse et de l'hyperbole donnent

La fonction H d'Hamilton deyient

î=F?i î±îi a?*— 3, a?'— ?î

4^^ RECUEIL D*EXEECICES

Les équations canoniques forment un système compliqué^ sans les écrire, nous chercherons leurs intégrales par le théorème de Jacobi. L'équation aux dérivées partielles est ici, après de légères transformations,

Posons, comme précédemment, S =zf(q) -h ç(yi), et écrivons, en nous bornant aux signes supérieurs,

l'intégrale F, renfermant une arbitraire a, est ici

■fW

La loi du mouvement est donnée par la formule

l'équation de la trajectoire est ~ = P •, elle renferme deux

intégrales elliptiques : aussi sera-t-il aussi commode de la remplacer par sa différentielle

dqt

SUR LÀ MÉGAlfIQt7E EATIONNBLLE. 4^3

Si l'on connaît les circonstances initiales, on aura la valeur ixiitialede H égale à — X^ puis le rapport de 9'. ^ ?'t.o ^^^^ nera, i Taide de l'équation précédente, la valeur de a. Pour qixe la trajectoire ait des branches inlBnies, il faut que q poisse devenir infini; pour qu'elle coupe l'axe FFi, il faut que ç ou qi devienne égal à c*; enfin elle se réduira à une ellipse ou une hyperbole si l'un ou l'autre des deux radicauiE n'est réel que pour une seule valeur de q ou de qi .