ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE LA MÉCANIQUE
Principe des ritesses Tirtaelles.
199. Nous allons étudier très-rapidement certaines équations générales auxquelles les géomètres ont ramené la résolution de tous les problèmes de Mécanique; c'est une méthode moins directe que l'emploi des considérations mécaniques proprement dites, mais elle est remarquable par sa généralité et sa puissance. On peut dire que toute la Statique est comprise dans le principe des vitesses virtuelles, énoncé par Bernoulli : dans un système en équilibre, la somme des trai^aujc des forces qui y sont appliquées est nulle pour tout déplacement ^virtuel des points du système, compatible auec les liaisons. Toutefois, quand quelques points du système sont simplement posés sur des surfaces, etqu't)!! leur donne un déplacement virtuel du côté où ils sont libres, la somme des travaux virtuels devient négative. On emploie indifféremment dans cet énoncé les mots de traitait "virtuel, moment virtuel, vitesse virtuelle.
Soient (îx, (îy , âz les projections rectangulaires du déplacement virtuel donné à l'un des points du système ; X, Y, Z les composantes de la force extérieure qui le sollicite; on a, en faisant la somme relative à tous les points, dont le «nombre est 71,
1 {X9x -f- Yfy -f- ZSz) = o;
àx^ dj^ dz sont tels que les liaisons soient respectées.
S€R LÀ MÉCANIQUE EATlOITlfELLE. 4^9
Quand celles-ci s'expriment par des équations
[i] F(ar,^,2,jr„. ..)— o, F,= o,..., F*=o,
on a, f prenant toutes les valeurs depuis i jusqu'à Ar,
[9.) —^^x-^'fy^ ^2| ^X, -f-. .. — O.
dx ^/ ^« ^^i
On peut tirer de là k variations en fonction des autres, et, les substituant dans (i), on égale à zéro les coefficients de celles qui restent, en nombre 3 n — k.lï revient au même d'ajouter à (i) les équations (2) multipliées respectivement par des indéterminées Xi, X„. . ., et d'annuler les coefficients de toutes les variations ; on a le même résultat que si un point quelconque x, jr^ z était libre, mais qu'on lui ait appliqué k forces, les composantes de l'une d'elles
, ^ ^ //F/ . dYt . dF, eiantX,X,-^,>,.
Quand la position du système est déterminée par des variables ^i, ^„. . ., ^r, on peut transforhter (i) en fonction de ces variables, et annuler le coefficient de chaque variation indépendante. Enfin en donnant des déplacements virtuels convenablement choisis, on peut obtenir des équations particulières d'équilibre contenues dans l'équation (i), et faciles à former.
200. Position d'équilibre d'un point ^ placé sur un plan incliné P, et attiré vers un point O proportionnellement à la distance; pression sur le plan.
Prenons O pour origine, avec un axe des z vertical; soit l'équation du plan P
^COSa +-2 8iQa — /?r=0;
Téquation des travaux virtuels est évidemment
Jy ajoute X [cosaix -^ sinadz]^ et j'annule le coefficient
4^0 lUECUEIL D^EXBECIGES
de chaque S-^ — lt}x -h X cosa = o, fi^jr =0, — p'z — mg -h X sina = 0.
Ces équations avec celles de P donnent les coordonnées de la position d'équilibre, et la valeur X de la pression, qui est normale au plan,
Xcosa Xsina — mg X = u'o-hmg^sma, xz=: --, jr=^o, z=: ; --
201 . Une tige AB de poids P repose sur une cheville horizontale C et s' appuie par son extrémité inférieure A contre un mur vertical; il ny a pas de frottements. Déterminer la position d'équilibre et les réactions.
On connaît la distance OC = c de la cheville au mur, et la distance AM = a du centre de gravité de la barre à son extrémité appuyée ; il s'agit de trouver Tangle 9 de AB avec la verticale. Le plan vertical qui contient la tige est perpendiculaire au mur : faisons remonter A le long de ce mur \ la seule force qui donne un travail virtuel est la pesanteur qui agit en M ^ la hauteur de M au-dessus de OC, a COS0 — c cot0, ne doit pas changer
sin>9
— asin9 = o, sinô = i/-
Pour avoir la réaction R de la cheville, supprimons cet appui, introduisons la force R et faisons tourner AB de ^9 autour de A ^
sinG
ûPsinO^e— -?^^e = o, R= — sin»0 = Piy-=i=
sinO c y ^
La réaction N du mur s'obtient à l'aide d'une translation virtuelle horizontale;
N^jr ~ R cosô^j: = 0, N = R cosÔ = P colO. 202. Trois points A, B, C, assujettis à rester sur un
cercle, se repoussent auec une intensité proportionnelle à la distance; position d'équilibre.
Soient a, ^, y les trois masses, R le rayon; on a
BC = 2RsinA;
pour une variation JÂ, le travail virtuel des forces exercées par B et C Tune sur l'autre sera
2/P7 R sin X ^ 2 R sin A ;
Téquation du travail est, en divisant par nJK^a^y^
sinaA.^ sinsB ^„ sinaC ,,
