PRÉFACE

La Science des Déierminants est l'un des instruments les plus puissants que l'Analyse mette à la disposition des Géomètres; le mécanisme en est fort simple, les méthodes sont presque élémentaires, les résultats sont d'une fécondité remarquable. Née de la résolution des équations du premier degré à plusieurs Inconnues, elle en abrège les procédés, en généralise les formules et donne à celles-ci une expression figurée, à la fois simple et précise, serrée et commode, qui rend la combinaison de ces formules sûre et rapide.

VAlgèbre, qui a donné naissance aux Déterminants, tire ainsi le premier fruit de son œuvre, au seuil même d'opérations souvent fort laborieuses; mais cet avantage n'est pas le seul tribut que l'Algèbre lève sur cette science nouvelle, éclose dans son domaine : elle y trouve des ressources bien

autrement précieuses pour l'élimination d'un ordre supérieur et pour la détermination des solutions communes aux équations de degrés élevés. Ces parties, si épineuses dans la pratique, ont été simplifiées avec art et précision, et des calculs presque inextricables sont devenus d'une facilité merveilleuse et même originale.

En Géométrie analytique y pour évaluer les angles, les lignes, les surfaces et les volumes en fonction de certaines données, on établit les relations qu'on sait exister ou qu'on découvre entre ces données, entre la quantité cherchée et entre d'autres éléments auxiliaires de la figure, convenablement choisis. Les relations ainsi établies constituent les équations de la question, et les éléments qui y entrent, indépendamment des données, forment autant d'inconnues auxiliaires ^ qu'il s'agit

Tl PRÉFAGI.

d'éliminer. Cette élimination, par les procédés ordinaires, esi souvent longue et compliquée; elle se hérisse quelquefois de difficultés presque insurmontables. De plus, la suite des opérations introduit dans les^équations résultantes, pour beaucoup de cas, des facteurs étrangers qui en embarrassent le maniement et masquent les liens apparents qui existent forcément entre les données et ki solution.

Ce double inconvénient disparait par l'emploi des Déterminants. Non-seulement les opérations deviennent simples et aisées, non -seulement les multiplicateurs étrangers sont écartés; mais les facteurs utiles apparaissent presque spontanément et sont immédiatement mis en évidence; mais encore l'expression de la solution forme tableau, pour ainsi dire, et présente une symétrie remarquable dans la disposition de ses éléments connus.

Les caractères qui distinguent entre elles les lignes et les surfaces d*un même degré, ceux qui embrassent les figures d'une même famille, ainsi que les conditions auxquelles ces figures peuvent être assujetties, se traduisent, dans l'AnalYse, par certaines relations entre les coefficients de leur équation générale. C'est encore la Science des Déterminants qui conduit à la détermination la plus rapide, qui fournit la représentation la plus succincte et la mieux figurée de ces relations de condition.

Les Déterminants donnent aussi le moyen de trouver les fonctions qui ne sont pas altérées par une transformation linéaire des variables; la découverte et l'étude de ces fonctions sont peut-être le principal objet de cette science, dont le champ ne cesse de s'étendre et de se féconder. En Géométrie, celte transformation correspond à un changement d'axes de coordonnées; les fonctions obtenues expriment donc des propriétés absolument indépendantes du choix désaxes. On comprend dès lors toute l'importance que doit prendre cette branche de l'Analyse dans les investigations géométriques.

L'importance des Déterminants se manifeste par des progrès incessants; elle est partout reconnue et proclamée, dans les