PRÉFACE. TU

Journaux scientifiques comme dans les Hémoires et les Cours publics. Chaque année voit apparaître de nouvelles publicalions sur cette féconde théorie et sur ses nombreuses applications. Plusieurs auteurs s'efforcent, en même temps, de donner à cette science une forme plus simple, une rédaction plus élémeniaire, une direction plus pratique, afin de la mettre à la portée des jeunes esprits. .

Dans beaucoup de pays, en Angleterre, en Italie et en Allemagne^ la théorie des Déterminants est prescrite dans l'enseignement et introduite dans les écoles. £h France, elle a pénétré dans les lycées de Paris; elle se trouve enseignée dans beaucoup d'élablissements de province ; elle est admise avec faveur et reçue avec avantage dans les examens d'admis* sion à rÉcole Polytechnique et à l'École Normale; elle appartient de droit au Cours de Mathématiques spéciales.

Les professeurs, pour se maintenir à la hauteur de leur mission, sont forcés de consulter les Mémoires et les Traités spéciaux; ils sont contraints de puiser dans des publications êparses; ils sont obligés de faire des extraits séparés', d'établir un lien uniforme entre ces extraits, de les revêtir d'une forme simple et élémentaire, afin de les faire cadrer avec les matières de leur enseignement. Cette tâche, toujours laborieuse, souvent difficile par l'absence, l'éloignemeni ou la variété des sources originales, absorbe leurs loisirs ou dérobe à leurs fonctions une partie du temps qu'ils doivent aux ^oins immédiats des élèves.

Les élèves eux-mêmes, restreints aux notes fugitives de la classe, sont embarrassés dans l'étude de leurs leçons par les parties qui leur ont échappé ou qu'ils ont mal saisies; ces points d'arrêt ébranlent leur confiance, en provoquant des efforts en pure perte.

Un Livre, pouvant servir de guide et d*aide-mémoire, aura donc un côté à la fois utile pour les élèves et avantageux pour les maîtres^ surtout s'il renvoie, en même temps, aux sources premières, aux documents complets, où la Science est traitée avec tous ses développements.

C'est afin d'abréger le travail des Professeurs, de faciliter

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i*étude aux Élèves que nous avons entrepris la rédaciion de cet Ouvrage. Nous y avons suivi les procédés les plus élémentaires» adopté les notations les plus simples, exposé les principes les plus essentiels» qui suffisent en Algèbre et en GéométriCy dans l'étendue du programme ofQclel. Si nous avons modiBé plusieurs démonstrations usitées, c'est pour les simplifl er, les abréger, les rendre accessibles aux jeunes commençants. C'est surtout pour eux que nous avons entrepris ce travail; c'est aussi à eux que nous l'adressons parliculièrement.

La première idée des Dcierminanls est due à Leibiutz. [Lettre de Leibnitz à L'Hospital, du 28 avril i63g,el OEuvres mathématiques de Leibnitz, publiées par Gerbardt, t. II, p. 239). Mais l'importance de ces fonctions a été signalée surtout par Crambr, dans son Introduction à l'Analyse des courbes afgébriques, 1750; Cramer peut être regardé comme le second inventeur des déterminants. Ce Géomètre a trouvé la loi de formation des Déterminants au moyen des formules que fournil la résolution de deux équations du premier degré à deux inconnues, et de celles que donne la résolution d'un système de trois équations à trois inconnues. Bezoot a étendu celte loi à un nombre quelconque d'équations linéaires, renfermant autant d'inconnues, en même temps qu'il a donné une méthode rapide pour la résolution de ces équations [Hiitoire de l'Académie royale des Sciences, 1764).

Dans les travaux de Laplagb et de Vandermonde ( Histoire de V Académie royale des Sciences, 177?, a* partie), dans ceux de Lagrangb [Sur les Pyramides, 1773, et Noui^eaux Mémoires de r Académie royale de Berlin, 1773), la loi de Cramer se trouve conOrmée et plusieurs propriétés des Déterminants sont énoncées et mises au jour.

L'illustre Gauss, dans ses Disquisitiones aritfimeticœ, 1802, a perfectionné et étendu le calcul algébrique, au moyen des Déterminants. Plus tard, Binet [Journal de l'École Polytechnique, XVI' cahier, 181 3) ei Caocby [Journal de V École Polytechnique, XVll* cahier, i8i5) ont énoncé de nouvelles propriétés et ont donné, dans les applications, au moy)en des

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DéterminantSy une facilité inattendue à des calculs fort compliqués.

Ce n'est cependant qu'en 1841 que Jacobi, dans son Mémoire De formatione et proprietatibus delerminaniium y posa les bases d'un Traité concernant la Théorie des Déterminants, et rendit cette science accessible à tous les mathématiciens.

Depuis cette époque» la Science des Déterminants a été Tobjet de recherches incessantes de la part des géomètres , les progrès ont été rapides. Elle s'est signalée surtout par ses applications curieuses et variées à la Théorie des nombres, à celle des Équations» à l'Analyse en général» à la Géométrie et à la Mécanique.

Ces applications sont consignées, d abord en partie dans les écrits de Jacobi [Mathematische tVerke) et de Cagchy [Exercices d'Jnalyse et de Physique mathématique]; ensuite dans les Mémoires publiés par MM. Caylet [Memoirs upon quanlics), Stltbster [Philosopkical Magazine)^RES8E, Bobchàrdt, Malm- ST£iN, J0ACHIMSTBAL [Journal de Crelle).

L'emploi le plus heureux et le plus efficace des Déterminants a éié fait par M. Hermitb» dans ses savantes et profondes recherches sur la Théorie des nombres, et dans ses travaux d'Analyse. Il en a publié les remarquables résultats dans les Journaux de Crelle y de Liouville, etc.

M. SAUioNa puissamment contribué à la propagation de cette science par la publication d'ouvrages spéciaux et par lesappli- Cillions à la Géométrie qu'il a données dans son Traité : On the Itigher plane curves.

Les fonctions de Cramer étaient d'abord appelées résultantes; la dénomination de déterminant, empruntée à Gauss» a été Introduite dans la Science par Cauchy» qui lui a substitué plus tard le nom de/onction alternée. L'usage a fait maintenir le nom de déterminant.

Paris, mars 1877.