On donne un pavaboloïde a:y = az /'apporté à
trois axes rectangulaires, l'axe des z étant vertical; un
poids P est placé sur sa surface dépolie, et repoussé de
V axe des z par une force horizontale, proportionnelle à
la distance du point à l'axe, et qui serait égale à P pour
la distance a; lieu des points oii P est près de glisser.
P.r La force qui sollicite le point a pour composantes — ^>
— j — P; il suffit d'écrire qu'elle fait avec la normale en x^j^ z l'angle de frottement
2P*— -f- aP a COSç =
V (^V • + -al- + py (^' + ^-^ -^ «^)
2 xy -\- a} 9. riz -h a^
^^ -î- J^ -t- ri^ -t- -i- jr'-ha^
La courbe cherchée est donc à Tintersection du paraboloïde équilatère avec un paraboloïde de révolution ayant même axe : c'est une courbe gauche à branches infinies.
i. Un poids P, posé sur un plan incliné, est tenu en équilibre par
deux forces égales à - P, l'une horizontale, l'autre suivant une ligne
de plus grande pente du plan, toutes deux tendant à faire monter le mobile; calculer l'angle i du plan avec l'horizon. (Ph. Gilbert.) En projetant sur la ligne de pente, on trouve
i I laner- = -•
2. Deux poids P, P', posés sur deux plans inclinés, sont attachés aux extrémités d'un fil sans masse, de longueur /, qui passe dans un petit anneau situé verticalement à une hauteur h au-dessus de l'intersection des deux plans, supposée horizontale : il n'y a pas de frottement. Déterminer les angles ô, ô' des deux parties du fil avec l'horizon quand il y a équilibre.
On exprime que P et P' sont maintenus en équilibre par la tension du fil, la même aux deux extrémités, puis on évalue les deux portions du fil ; on a
Psini P'sini' , , f cosi cos
COS(0- 0 008(6'— l')
, , r cosi cost' "I
~" [siu(0 — i) "^ sin(0'— i')\
3. Positions d'équilibre d'un poids P assujetti à rester sur une spirale hyperbolique située dans un plan vertical et soumis à une force répulsive de grandeur constante Q émanant du pôle. (A. Fuhrmann.)
Equation de la forme Q cosjx = P sin((JH- 6).
4. Quelle force horizontale faut-il appliquer à un poids P pour le tenir en équilibre en un point quelconque d'une hyperbole équilatère dont une asymptote est verticale et sur laquelle il est assujetti à rester? (A. Fuhrmann.)
5. Trouver sur le paraboloïde x'^-^ y'^—- ipz, les axes coordonnés étant rectangulaires, une ligne de niveau pour un point soumis à une force dont les composantes sont
On a
X2(rp dy — y dx) — [t^z dz — o,
donc
^ X dy — r dx [Ji-dz ^
x^ -r- y^ 'ip
la ligne est sur un hélicoïde à plan directeur.
6. Positions d'équilibre d'un poids P assujetti à rester sur un ellipsoïde dont un axe est vertical : le point est en outre soumis à une force répulsive de grandeur donnée Q, émanant du centre.
Les positions d'équilibre sont sur quatre droites issues du centre et situées dans les plans principaux qui sont verticaux ; mais on devra remarquer que sur chaque droite il n'y a qu'une position d'équilibre; il y a en outre le point le plus haut et le point le plus bas de la surface.
7. Surfaces de niveau dans le cas d'une force ayant pour composantes
8. Surface de niveau pour un point pesant attiré vers une droite horizontale par une force perpendiculaire à cette droite et inversement proportionnelle au carré de la distance du mobile.
C'est une surface engendrée par la révolution d'une hyperbole équilatère autour d'une de ses asymptotes, qui est verticale.
9. Un poids P, posé sur un plan incliné dépoli, soumis à une force horizontale égale à P qui tendrait à le faire remonter suivant une ligne de plus grande pente, est sur le point de glisser : calculer l'angle du plan avec l'horizon.
Cet angle est 45'*ii::«p, suivant que le point est près de glisser vers le bas ou vers le haut : il faut d'ailleurs o < 45*.
dO. Déterminer les régions d'un tube hélicoïdal à axe horizontal dans lesquelles un point pesant peut se tenir sans glisser.
11. Un poids P, posé sur un plan incliné dépoli, est attaché à une des extrémités d'un fil qui va passer sur une très petite poulie 0 et porte un poids Q à sa seconde extrémité qui est libre : les deux brins de fil sont dans un plan normal au plan incliné. Calculer l'angle a du plan avec la ligne PO quand P est près de glisser.
La tension du fil est Q et l'on a
Qcos(a± ç) = P sin(t=p (p).
