Trouifer sur une parabole dépolie, dont l'axe est

vertical et la comexité tournée vers le haut, le point le

plus bas où puisse rester en équilibre un corps pesant,

attiré vers le foyer par une force réciproque au carré de

la distance, et qui est égale au poids quand le corps attiré

est au sommet : le coefficient de frottement est-r'

Soient/? le demi-paramèlre, r la dislance du (oyer au point cherché, a l'angle que la normale en ce point fait avec le rayon vecteur et avec la verticale ; en prenant le poids du corps pour unité de force, l'attraction du foyer

sera ^: projetons les forces sur la normale et sur la tangente : on aura, en remarquant que le mobile est sur le point de glisser vers le bas,

N==cos«(.-^), |N=sina(, --';;).

On trouve aisément que r= ^ — ^-^; remplaçons-le par cette valeur, et éliminons N :

sin3(i — cos*a)— -cosa(n- ces* a) — o

OQ

StangSa — 3 tang*a-Mo tang'a —- 6 langea — 6 = o.

11 y a la solution tanga=:i; si on la supprime, il reste Téquotion

5 tangua -+- 1 tangua-}- 12 tangua h- 6 tanga -f- 6 — o,

qui n'a plus de racines positives. Le point cherché est à l'intersection de la parabole et de l'horizontale menée par le foyer, où la tangente fait un angle de 45 degrés avec l'axe.

16. Soit O un point pesant posé sur un plan dépoli qui fait un angle i avec Vhorizon : déterminer V intensité de la force ayant une direction quelconque donnée, qu'il faut appliquer à la masse O pour qu'elle soit sur le point de glisser.

Prenons pour origine le point O, pour axe des x la ligne de plus grande pente du plan dans le sens descendant, l'axe des y étant horizontal et l'axe des z suivant la portion de la normale au plan située au-dessus; définissons la direction donnée par ses cosinus directeurs a, p, y. Soient F la force correspondante, P le poids du corps ; les composantes des forces extérieures auxquelles il est soumis sont

X = PsinjH-Fa, Y=Fp, Z^^Fy-Pcosi.

Le corps étant posé sur le plan exerce sur lui une réaction — Z qui doit être dirigée en dessous; la composante qui

tire le point dans fe plan est y/X=^-|- Y-; on a donc, si l'équilibre est près d'être rompu,

v/(Fa-i-Psiiii)*^H-F2p2 ^ y(p cosi— Fy).

Pour étudier la manière dont varie F quand sa direction change, portons sur chaque direction une longueur proportionnelle à la valeur correspondante de F, P étant représenté à la même échelle par une longueur a; le lieu

des extrémilés de ces droites représenlatives a pour équa-

tion

(i) ^{x -r asini)^ -^ jy^ = taLngiç{acosL — z).

C'est la nappe inférieure d'un cône droit : le sommet a pour coordonnées — asini, o, a cosi; Taxe est perpendiculaire au plan, et fait avec les génératrices l'angle cp. (La nappe supérieure répondrait au cas où le mobile serait en dessous du plan.) Lorsque o > i, le point O est à l'intérieur du cône; si la direction de la force est au-dessus du plan, il y aura toujours une valeur de F répondant à la question ; il en sera de même si F est dirigée au-dessous du plan, mais fait avec l'axe du cône un angle > cp ; quand cet angle devient < cp, la demi-droite correspondante ne coupe plus le cône, et le problème est impossible. Soit maintenant cp <; I : l'origine est en dehors du cône ; la ligne d'action de la force peut ne pas rencontrer la surface, et dans ce cas le problème est impossible ; si elle la coupe en deux points, la force correspondante aura deux valeurs. Il faut remarquer que, dans chaque cas, le glissement se fait dans la direction indiquée par les composantes X, Y; cette direction n'est pas liée d'une manière évidente a priori à a, P, y; mais elle est parallèle à la trace du plan méridien qui contient l'extrémité de la droite représentative de la force.

Du point O on peut mener deux normales au cône, et l'une a une longueur minima; elle fait avec le plan l'angle cp, et est au-dessus si cp^ /, au-dessous si cp <; i] c'est la force minimum qui mettra le corps sur le point de glisser. La seconde normale n'est minima que parmi les droites comprises dans le plan méridien de l'origine; elle fait Tangle (f au-dessus du plan, et c'est la direction la plus avantageuse pour faire remonter le corps suivant la ligne de plus grande pente.

Si, dans une direction donnée, on applique une force re-

présentée par une droite qui se termine à l'intérieur du cône, il n'y a pas mouvement^ car, pour l'extrémité de cette droite, le premier membre de l'équation (i) est moindre que le second; la composante tangentielle est <^Ny*. Si l'extrémité de la droite qui représente la force est extérieure au cône, il y aura mouvement dans le sens de la droite dont les projections sont X et Y.

Lorsqu'on donne la grandeur de F et qu'on cherche sa direction, on voit que cette force doit se trouver sur un cône ayant O pour sommet et pour directrice l'intersection du cône étudié précédemment avec une sphère dont le centre est O, et le rayon égal a la droite qui représente F.