COMPOSITION DES FORCES PARALLÈLES

18. Quand on a un système de forces parallèles, mais qui n'agissent pas toutes dans le même sens, on peut les traiter de la même façon dans les calculs, à condition de donner le signe + à celles qui ont une certaine direction, le signe — à celles de direction opposée. Il y a généralement une résultante parallèle aux forces données, égale à leur somme et dont le moment par rapport à un plan quelconque est égal à la somme des moments des composantes; désignons celles-ci par P, P', ... et les coordonnées de leurs points d'application par x^ y^ z] x', y, ^'; ... : nous aurons, pour déterminer la grandeur de la résultante et les coordonnées de son point d'application,

T. ^r. ^P^ 2Pr 2P^

(i) R = 2P, ^i=-2ir' ^i= "sif ' ""^^TF^

le point Xi, yi, Z\, centre des forces parallèles, est indépendant de leur direction.

Soit

une droite à laquelle les forces sont parallèles; les conditions d'équilibre seront

, , ^r» 2Par Spy SP^f

V ^ * a ji Y

Si la première condition est seule satisfaite, on a un couple.

Pour que Téquillbre ait lieu quelle que soit la direction (a, p, y), il faut que SP^, SP^, SP^ soient nuls; quand ces conditions sont remplies, si Ton change non pas la direction des forces, mais l'orientation du corps où elles sont appliquées, il y aura encore équilibre, et le système est dit asiatique.

19. Le fait de l'existence du centre des forces parallèles, unique et bien déterminé, et les règles de leur composition peuvent conduire à des théorèmes purement géométriques, et c'est un des cas si intéressants où deux parties différentes de la science se rapprochent et se prêtent un mutuel appui.

Ainsi, appliquons aux quatre sommets d'un tétraèdre quatre forces égales et parallèles : on peut trouver leur résultante en composant d'abord trois d'entre elles en une seule, puis celle-ci avec la quatrième; ou bien, en composant les deux premières, puis la troisième et la quatrième, et enfin les deux résultantes partielles. On arrive aux théorèmes connus de Géométrie : dans un tétraèdre, les droites menées de chaque sommet au centre de gravité de la face opposée se coupent en un point qui les divise dans le rapport de 3 à I : ce point est au milieu de la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées.

Soient encore appliquées aux sommets A, B, G d'un triangle des forces parallèles P = tangA, Q = tangB, R = tangG; deux d'entre elles ont une résultante appliquée au pied de la hauteur tombant sur le côté dont elles sollicitent les extrémités ; donc la résultante des trois forces est appliquée au point de rencontre H des hauteurs, et égale à

F = tangA -i-tangB -h tangC = tangA tangB tangC,

d'après un calcul de Trigonométrie bien connu. Considérons maintenant trois autres forces appliquées aux mêmes

sommets :

T> sinA sinB sinC

cosBcosC cosCcosA cosAcosB

Les deux dernières ODt une résultante appliquée en un point I de BC, tel que

IB sin2G

On reconnaît aisément que ce point se trouve sur la droite qui va de A au centre du cercle circonscrit; les forces P|, Qi,R, ont une résultante appliquée au centre S du cercle circonscrit, et égale à

« sia2A -I- sin2B -h sinaC . « ^ ^

F,=: ^ =:2tangAtangBtangC ==2F.

2cosAcosBcosG o o o

Cela posé, remarquons que

P 4- P, r:r tang A -+-

cosBcosC

sin A(cosB cosG -h cosA] ces A cosBcosC

tang A tangB tangC = F ;

on peut donc composer les six forces données soit en groupant celles qui sont appliquées à un même sommet, ce qui donne trois forces F, dont la résultante sera au centre de gravité O du triangle, soit en formant les résultantes partielles F en H, 2F en S, et les composant; il s'ensuit que le point O est sur la droite SH, de telle sorte que SO = 2 OH. On obtient le théorème relatif aux six segments déterminés par une transversale sur les côtés d'un triangle en composant quatre forces : P et Q appliquées en A et B, R et — R en G.

20. Proposons-nous, dans le cas général, de composer trois forces parallèles P, Q, R, appliquées aux sommets

d'un triangle ABC. Les forces Q, R peuvent être remplacées par une force Q + R appliquée en un point A' de BC. Cette dernière, composée avec P, donne une résultante appliquée en O: