OG 2P = 2P.0A — 2P.GA
22. Cas particulier oà SP s^ annule, — Les résultats qu'on vient d'obtenir sont encore vrais si l'on suppose quelques-unes des quantités P^ P2, ... négatives; si
3o RECUEIL d'exercices
pourtant SP est nul, le centre des forces parallèles P<, p2, . . . n'existe plus, et le théorème de Leibnitz est inapplicable; raais on peut énoncer un théorème particulier à ce cas {voir la Note II de M. Darboux à la suite du Cours de Despeyrous) : la résultante Rrfes forces P/X O Ai est constante en grandeur et en direction, quel que soit le point O.
Pour le démontrer, je considère le centre G' des forces parallèles P'^, P'g?.-? dont la valeur est positive, et le centre G^ des forces P'^j'P'g,..., qui sont négatives. Appliquons le théorème de Leibnitz à chacun des deux groupes : il vient, en adoptant la notation la plus ordinaire des égalités géométriques,
SP'x OA'=ÔG\SF, SP'.OA'^- OC'.SP";
ajoutant, et tenant compte de ce que SP"=-— SP', on a
R :r^ 2P X OA = OG'SP' — OG'SP' = CG'ZP', ce qui démontre le théorème; d'ailleurs l'équation (y) de
Lagrange montre que R^ se réduit à — SP| Po.A^ A2 .
23. Trouver les coordonnées du centre I du cercle inscrit à un triangle ABC, sa distance à un des sommets^ au centre T du cercle circonscrit, etc.
On reconnaîtra très facilement que si, en A, B, C, on applique trois forces parallèles, égales respectivement aux côtés a, 6, c, le centre de ces forces est en I et qu'on a sur la bissectrice AA', par exemple,
AA' a-\-b -{- c o.p
Soient donc x\ y' \ x" ^ y" \ x'" , y" les coordonnées des trois sommets; on aura celles du point I en prenant les moments par rapport à Ox et O y :
ax'-^- bx' -\- ex"* ay' -\- by -\- cy"
SUR LÀ MÉCANIQUE RATIONNELLE. 3l
les distances du point I aux points remarquables du
angle s'obtiendront en appliquant l'équalion (y) de
L.si.grange aux forces a, 6, c et aux points A, B, C; faisons
d'^sibord coïncider le point O avec A et divisons par
(:SP)=^= 4/?2 : on aura
-— î b^c-\-c^b bca^ ■+• cab^ ■+- abc^ p — a , AI = . ; — = ^ bc ;
V équation (i) ferait connaître AA'. Si nous faisons coïncider O avec le centre T du cercle circonscrit, comme TA= TB = TC = R, on aura
77=2 R«(a-H^-!-c) abc IT = — ^^ ;
on sait que abc = ^V^rp^ et Ton a, par suite,
Ït'=R2— 2Rr,
égalité remarquable d'où il résulte qu'étant donnés deux cercles il n'existe qu'exceptionnellement un triangle inscrit dans l'un, circonscrit à l'autre.
On pourra trouver quelques autres applications de l'équation de Lagrange dans une Note que j'ai publiée en janvier 1884, dans les Nouvelles Annales de Mathématiques,
24. Un vase hémisphérique très mince, de poids R, repose par sa partie convexe sur un plan horizontal et porte deux poids P, Q aux extrémités A, B de deux rayons perpendiculaires : position d* équilibre.
Les poids P, Q se composent en un poids P -h Q appliqué en un point G facile à déterminer sur AB; le poids du vase est appliqué à son centre de gravité, au milieu M du rayon perpendiculaire à la base ; la résultante des trois forces devant être détruite par la réaction du plan fixe sera dirigée suivant le rayon OH qui passe au point d'appui, le plan MOG sera vertical, en sorte que OG sera la ligne de
32 HECUEIL d'exercices
plus grande penle de OAB. Soit a Tangle qu'elle fait avec le plan horlzonlal; les moments de R et de P-f- Q par rapport au plan passant par OH et perpendiculaire à MOG se détruisent; donc
OM X Rsina — OG(P-T-Q)cosa=:^ o, tanga= --/- —"7 — . D'ailleurs, par la formule (jî), n" 21,
OG (P-+-Q)«=OA X P2-HOB xQ^; si Ton fait OA = OB = a, OM = -» il vient
langa= ^^/pTI^^,
23. Quand on considère un corps parfaitement rigide s'appuyantsur un plan par plus de trois points, la Statique laisse indéterminées les pressions aux points d'appui ; cette anomalie disparaît si l'on tient compte dès déformations éprouvées par les solides naturels et des actions moléculaires qui en résultent: il y a des cas simples où le problème peut se résoudre aisément; en voici un exemple :
Une table, (fui est d'abord horizontale et qui doit rester parfaitement plane, est soutenue par n pieds verticaux AA', BB', . . . d'égale longueur, reposant sur un plan horizontal rigide et fixe ; on la charge de poids qui ont une résultante verticale P appliquée en un point connu M : trouver les charges des appuis, en admettant qu'ils se raccourcissent de quantités très petites proportionnelles à leurs charges respectives et qu'ils restent verticaux.
Prenons pour plan des xy le plan de la table quand les pieds sont dans leur longueur naturelle, et pour axe des z une verticale quelconque dirigée de haut en bas. Je détermine la position des points d'appui par leurs coordonnées primitives ^i, j^^, ..., Xny yn» Quand on charge la table et qu'on laisse les pieds se raccourcir, les x et les y des points
d^appul ne changent pas, par hypothèse, mais leurs ordonnées deviennent .Si , . . . , ^/i . Soient Qi , Qj , . . . les pressions qu'ils supportent; on a, d'après l'énoncé,
mais, par hypothèse, la table reste plane et coïncide avec un plan z = ax -+- by H- c ^ on aura donc
Soit (x, y) le point M où est appliquée la force P; elle est égale à la somme des Q/, et son moment par rapport à OXZ et OYZ est la somme des moments de ces réactions; donc
Pjr^^allxiXi-^ bXlyl -+-c).2r,-,
Nous avons trois équations pour déterminer a, i, c, et par suite les Q/. On peut choisir l'origine et les axes de manière à annuler S:r,-, 2;^;, Y^Xiji^ l'origine étant le centre des moyennes distances des points A, B,..., et les axes étant ce qu'on appelle les axes principaux du système. 11 vient alors
S'il s'agit d'une table rectangulaire soutenue aux coins et dont les côtés soient 2 a, ai, les axes seront les médianes, et l'on aura
De S.-G. — Bec, 3
34 HECXJEIL d'eXERCICEÂ
Pour qu« les quatre pressions soient positives ou qu^aucun pied ne soît soulevé, il faut que le point M soit à Finlérieur du losange dont les sommets sont les milieux des côtés de la table et dont les côtés ont pour équations
-H-f— r-hï = O.
dza ±:
Supposons encore que la table soit un polygone régulier de n côtés, soutenu à ses sommets et inscrit dans un cercle de rayon a; l'origine est au centre et l'un des sommets sur l'axe des ap. On aura
Cl tir . 2 111 v^ , na^ V^ , na!^ Xi =^ a cos 9 yiz=z a sin > > x} = > y yf =z ,
QP I ^y.x Itz iy , iiz / = — ( — cos h -^ «in h I n\ a n a n
Il est aisé de voir que toutes les charges seront positives si le point M est à l'intérieur d'un polygone régulier dont les côtés touchent le cercle concentrique à la table et de
rayon - aux points situés sur les prolongements des rayons
qui -aboutissent aux sommets d-e la table.
Si l'on trouve pour les pressions supportées par quelques-uns des pieds des valeurs négatives, et si l'on suppose l'extrémité de ces pieds fixée au sol, ils doivent s'allonger; mais, s'ils peuvent quitter le sol, ils ne soutiendront plus rien; on devra reprendre le problème en répartissant la charge sur les autres pieds, et tenant compte du poids des appuis qui sont soulevés.
\, Un paralléloçramni« homogène est porté par trois hommes, dont un le tient eà un sommet : en quels points du périmètre les deux autres doivent-ils soutenir la plaque pour que tous trois soient également chargés? (P. Jullië?).)
SUR Ll MÉCUriQUE RATIONNELLE. 35
Aux milieux des côtés non adjacents au sommet considéré.
2. Montrer que le centre de forces parallèles et égales, dont les points d'application divisent dans un même rapport les côtés successifs d'un polygone donné est indépendant du rapport adopté.
