Centre de grawilé d'un arc de cardioïde

r=z a{i -+- cosO).

On a

dsz= dQ \2a^[^i -^ cos ô ) = 2 a cos — 0 dO^

s = ^a ( sin — 0 — sin — 0, ) ,

r cos ô ds

. CU 0 3 30 I 5(i\^^ = a^ I ?. cos — I — cos 1 — cos — ) d9

Je, \ ^ ^ ^ ^ ^ /

r=r a* ( 4 sm 4 sm h sin sm h -= sm — sm -

y ^ ^ 2 1 aSao:

l yds = I rsïnBds m 8/1' / cos^ - sin - = — rt' ( cos' — — cos' - ]•

Il est aisé d'en tirer x^ et yi ; pour la moitié de la courbe, de 0 = G à 0 = 7r, on a »

29. Centre de grav^ité d'un arc d'hélice ordinaire com mençant sur le plan des xj^ et où la^ densité est représente par e"^*.

Soient a le rayon du cylindre sur lequel est l'iiélic 27r/i le pas ; on a, pour chaque point de la courbe,

La masse de Varc considéré est

m r= ^ / t-"*dz = yJa^-Jf ti* , 9

h J^ ch

SUR LA MÉCAWrQITB RATIONNELLE. 3 9

/xdm = ■- i/<z» -h ir* / e"** cos -7 c^z^

= — * — — - e"" sm V — en cos -r 1 -+- c^ h i + c'h' L \ ^ ^/ J

\ydm^=. a ;- I — er^* cos - H- cA sm -7 h

/ zdm=z- — 1 ze-'^'^dzzzz - — - — E x^[i-^cz)er^ U

On aura immédiatement Xi, j^i, -z^i. Si Tare est prolongé indéfiniment, les résultats se simplifient et deviennent

sJa'^-\-h} ac^h^ ach i

30. Déterminer une courbe plane passant par l'origine, et telle que la densité soit une fonction donnée f{s) de l'arc, et que l^ ordonnée y^ du centre de gravité (Vun arc, compté à partir de Vorigine, soit une autre fonction donnée f{s). Cas ou /(s) = as^j cp(5) = a5î*.

(Agrégation, 1871.)

On voit immédiatement que la courbe satisfait à l'équation

?(^) / As)ds=l yf(s)ds,

Différentions :

^i^)As)^^'(s) f'fis)ds=yfis);

y est dès lors une fonction connue de s

donc

(2) da: = ds^i — ^'*{s).

4o RECUEIL d'exercices

Si l'on peut intégrer, il n'y aura plus qu'à éliminer s à l'aide de l'équation (i) pour avoir l'équation finie de la courbe. Quelquefois on peut résoudre l'équation (i) par rapport à s,

et il suffit d'intéirrer

(3) dx— dyy/m^y) — !.

Dans le cas particulier proposé, l'équation (i) devient

en introduisant, pour abréger, la nouvelle constante c» L'équation (2) donne alors

dx -- ds /i — c-^-i^* .

Cette différentielle binôme pourra s'intégrer quand

ou 1 — seront des nombres entiers: l'une de ces

deux conditions sera satisfaite si u. est de la forme ,

n étant entier. On pourra choisir arbitrairement la valeur de m : elle déterminera le rapport de j^ à y^.

Soit /z = I* alors ju ^= 2, j* = - ^'. Nous appliquerons

Téquation (3)

<f- = ''y y -i^Tf-

C'est une cycloïde ayant son sommet à l'origine et touchant

l'axe des x; le rayon du cercle générateur est — •

Soit 72 = 2 , a = - : nos formules deviennent

y z= -~ cs^ ^ dx r:=ds ^i — es, o

Intégrant,

C'est riiypocycloïde à quatre rcbrousscments , enveloppe d'une droîte de longueur 5— qui glisse sur l'axe des j:et la

droite X =

Pour 71 = 00 , u = I , on a une droîte.

On ne peut donner à n de valeurs négatives, car [i serait

<C^ I, et — infini pour 5 = o, ce qui est impossible.

Centre de gravité des surfaces.

31. Centre de grav^ité de l'aire comprise entre un arc d* ellipse, le diamètre qui aboutit à une extréitnié de l'arc et la corde conjuguée passant par Vautre extrémité .

En prenant pour axe des x le diamètre donné, pour axe des j' la tangente à son extrémité, l'équation de l'ellipse est de la forme

y^z=: 2 — Jr •

On décompose l'aire donnée en une infinité de bandes élémentaires parallèles à l'axe des j'; la masse de chacune peut être représentée par } (fo:, et son centre de gravité a pour

coordonnées x et - r. L'aire considérée est, 0 désii^naiit l'angle des axes,

A ^= / \ / 2 — jr ,r'^(Lr sm ô

h sin or' a— Il , . . , ; — '1

= a} arc cos [a — 11) \'^- (iit — fr •

4^ RECUEIL d'eXE«CICES

Si Xi, j^i sont les coordonnées du centre de gravité^ h

xéxi^dx Kl 7. — X a^

biinO r ,

arc ces -' lah — lî^)

— a (a — K) ^lah — h^ I ,

On en déduit pour x^^ j^ des valeurs assez compliquées, mais qui s'adaptent, en se simplifiant, à plusieurs cas particuliers •, ainsi, pour le quart d'ellipse, on fera A = a, et l'on

aura

it ab ^a ^b

A =r — i— 5 x^z=za — -— ) Ji = .^— •

Si Ton veut passer au cas de la parabole, on fera i* = ap^ on développera suivant les puissances négatives de a, qu'on

fera ensuite infini \ mais il est bonde remplacer arc cos

y lu

par 2 arc sin i / — *, on a

fpfi

y^sin9[«(,+ -^+...)(a-A)(,^^ + ...)],

et ainsi pour les autres : à la limite, en faisant \J^ph = /r,

A=r-MsinO, a:, = -A, j-, = - /.