Centre de gravité de l'aire comprise à l* intérieur

d'une parabole et d*un cercle représentés par les équations

Le cercle passe au sommet de la parabole et touche son axe; il rencontre la courbe en un point dont Tabscisse est 4^5 et le segment considéré est biconvexe. Pour évaluer les intégrales qui servent à déterminer le centre de gravité de Faire, le mieux serait de la décomposer en bandes inGnîment étroites parallèles à OX ; mais , pour donner un exemple des précautions à prendre dans le calcul des intégrales multiples où l'expression analytique des limites change, je décomposerai en éléments dxdj^ et j'intégrerai d'abord par rapport à y. J'ai une expression de la forme

A =: I j c/a:djrz=: j Çf' — y^^dx;

X ne varie pas seulement de zéro k \a^ mais de zéro à 5a, car le rayon du cercle est 5<2, et Tare qui limite le contour surpasse un quadrant. Dans tout l'intervalle, on aura

y ■=. Sa — v/26 a^ — x'^ ;

mais y sera \/iÇ>ax quand x croîtra de zéro à ^a, et

5a H-y/aôa^ — x^ quand x sera compris entre ^a et 5a; donc

>4/t ^sa

0 •Aa

A = — a' arc sm -= — a',

en prenant l'arc sinus terminé dans le deuxième quadrant, I26°55i'i2''^, ou, en parties du rayon, 2,2i43. L'intégrale f X dx dy se calcule de même et donne

44 IIECUEIL d'exercices

Enfin

Ajr, = f fr dv clj = i Ay ' - y"') dx

^ Jo

Jf*ba dx y^25û' — jr% 4a

A ri =: «' arc sm J a^,

L'arc sinus est le môme que dans la première intégrale. On a sans peine x^ et j^.

33. Centre de gravité d'une demi-boucle de la lerri' niscate de Bernoulli

r=:: a \'l COS2 9.

On fait varier 9 de zéro à 7 j alors /• = o, et Taire de la

courbe est

J/» 4 /• û Y 2 COS lO /» 4 T

/ rdrdO=ia^ l cosiQdQ =z - a\

0 Jo Jo ^

kx,=z l I r^cosOdrdO = ^a^ I y'^ cos0(cos2 9) V/0.

On intègre en posant y/a sinO = a, d'où

v/ïcosÔ c/6 = û?M, COS2O = I — w',

2 , rV , I , 3 2 , 7ra3

A^i= -aî / (1 — w2)2û?u = —Tt X 3«'= -g->

Ayi= f fr^sinQdrdO= |a3 T v^sinô COS2O* cR).

Posons y 2 COS0 = Uj \f% siuOdQ = — du^ COS 20 = Z^' I *,

On en conclut

34. Déterminer une courbe plane telle que le centre de granité de l'aire comprise entre les axes, la courbe et

l'ordonnée x = /i ait pour abscisse Xi = y

La courbe cliercliée satisfait à Téquation

(i) '— l yd.r.z= j jrydx,

^-^^ Jo Jo

Dilî'érentions et réduisons :

/ jrclr= ———.T'y;

Dîfférentions encore:

d'où

1 dy a^ — la.r — Sx* a — 3.r

y dx. x^[a -i-x) x^

I^ 'intégration donne évidemment

La courbe présente un point d'arrêt à Torigine^ du côté des X positifs, elle part deTorigine tangentiellement à OX, s'élève au-dessus de cet axe, et lui devient asymptote pour

46 HECUEIJL d'exercices

X infini. Quand x décroît de zéro à — ^ t y croît de — oo à zéro. De ce côté de Taxe des x^ il était impossible a priori de satisfaire à Ténoncé du problème ] mais il n'y a pas contradiction avec nos calculs, car, si x est <^ o, la valeur trouvée pour j^ rend infinies les intégrales de l'équation (i), et celle-ci devient illusoire.

3o. Etablir la relation qui existe entre les aires des quatre triangles ayant pour bases les côtés d'un quadrilatère et pour sommet commun le centre de granité du quadrilatère.

Prenons {fig* 2) pour axes les diagonales A A', BB', et faisons OA = a, OA'=û', OB = è, OB'=i', AOh=^Q. Joignons B, B' au milieu M de AA'^ il est clair que le centre

de gravité G se trouve sur une parallèle h BB' qui coupe MB et MB' au tiers de leur longueur à partir de M; et, comme

. OM = -^a — a'), r abscisse de G est - (a — a'); par analogie, son ordonnée sera -^{b — b'). Maintenant Taire du triangle GAB est

= -rsin^(a& -H ab'~h ba').

SUR LÀ MÉCÂNIQTJE EATIONKELLE. 4?

L*aire de GBA' sa calcule de même, A' ayant pour coordonnées — «1 o,

GBA'= p = g smQ{ab -h ha'-ha'b');

de même

GA'B'=7 = g smQ{ab'-h ba'-ha'b'),

OB'A = ^= ^sinGffl^ -^t- ab' -^a' b' ..

Oq tîre de ces équations, en posant a-|-(3-l-74-5 = S,

U suffît d égaler le produit des dcnx premières et des deux dernières quantités \ on a, en divisant par 12 coséc*^,

3a7 — S(a4-7)=:3p(î— S(P4-^) OU

Les quatre aires ne peuvent donc être prises arbitrairement.

36. Centre de granité de la portion de surface du paraboloïde

fi ^2

qui se projette sur le plan des xy entre les parties positivées des axes et Vellipse

-;-f-'7T=I, Z = 0. fFuH«MAKW.}

Le long de la courbe à double courbure qui limite Taire

proposée, la normale au paraboloïde fait un angle constant avec Taxe des z. Pour eCTectuer les quadratures, je substitue k X et y les variables u et 'f définies par les équations

x = au sin^j y = bu coso;

on a tous les points situés à l'intérieur du quart d'ellipse

donné en faisant varier u de zéro à i , o de zéro à -• On

découpe le plan des xy en petits parallélogrammes qui ont pour aire, d'après les formules connues pour le changement de variables dans les intégrales multiples,

/d.T ây dx dy\ i ^ ^

\(7Cp OU ou OO J ' •

La normale au paraboloïde en r, y faisant avec l'axe un angle y tel que

cosy

on aura pour l'aire courbe et pour ses moments par rapport aux plans coordonnés :

A = ab I I ar/a<fcp /i-h a2= -^(2 /2 -hi)j

Axi = a^b j I u^ dud(^ sin <p /i-h u^ = —^ [3 ^^u. — L (i -i- v/â)] ? Ayi = ab* j 1 u^ dud(^cos<f ^i-h u''^= -^ [s /à — L(i-h v/2)], Azi = -ab I I u^{a sin^(^ -h b cos* <p ) <iM c?<p /n- u^

37. Iai distance du centre de granité de l'aire d*une figure sphérique à un plan est quatrième proportionnelle à l'aire de la figure, à sa projection sur le plan et au rayon R de la sphère.

En effet, prenons le plan de projection pour OXY, le centre pour origine -, on a

Az,= I I « — €ir<3?;^ = Rproj. de A.

On en déduit que la distance du centre de gravité d'un triangle sphérique ABC au plan du grand cercle 6C est

R fl — h cosC — c cosB 2 AS-B-i-C — ïT '

cette formule et les deux autres analogues font connaître le point cherché.

Considérons une demi-boucle de la surface de Viviani

ar'-f-j^H-c'rrzR», x»-l-^»— Rx = o;

son aire est 1 1 j R', et ses projections 6ur les trois

plans coordonnés sont^ comme on le voit sans peine,

on en déduit

^ (Sir — 8m irR

Centre de gravité des solides.

38. Centre de grauité du ^volume homogène engendré par la réi^olution de la boucle d'une strophoïde autour de l'axe.

De S.-G. — née 4

5o RECUEIL d'exercices

Prenons Taxe pour axe des x, et le point double pour origine; Téquation delà courbe est

fl -4- .r

Le volume est

cLe

Jo '^

Jo \ a^-x] \ 3/

Le centre de gravité est sur Taxe des x, et, Xi étant son abscisse, on a

d'où