V.r, z= / Tcx^ '— drz= va* ( — — 2L 2 J
17 — 24 fj ^. o , 365 ^
39. Centre de gravité du volume engendré par un secteur parabolique compris entre deux rayons vecteurs et tournant autour de Vaxe de la parabole.
Le rayon vecteur correspondant à l'angle 0 est
^ i-t-cosO
et, si a et ^ sont les angles polaires des rayons qui limitent le secteur, on a
V =211/ / r'sin6c?0<fr = -/?3 7rh^ ôt; — ; : »
Vxi=2Tzj I r3sinOcosOc?0<ir
2 g^ fi I I T "]?,
^2^^ [â (i + cosO/i "" 3 (n-cosO)3jot'
SUR LA MÉGiLNIQUE RÀTI0I9IVELLE. 5l
1 3(i-f- cosa) (i-4-cosP)'cosa-f- cosp) — afcosa — cosp)'
' 4 (' "+" cosaj^i -h cosp) (2 -h cosa -h cospj
39. Centre de gravité du volume compris entre les trois plans de coordonnées rectangulaires et les surfaces des cylindres elliptiques
La surface courbe qui limîte l'espace compris à Tinlérieur des cylindres au-dessus du plan xj est la voûte d'arête, et les lignes d'intersection des deux cylindres soni contenues dans les plans ay = di bx. Nous ne prenons que le quart du volume compris sous la voûte ; des plans horizontaux y déterminent des sections rectangulaires dont les côtés ont pour longueur
On aura de suite le volume V et Tordonnée z du centre de gravité
= / ^-(c^—z''](/z— --abc.
Pour calculer les moments relatifs au plan des yz, on peut diviser le volume en petits prismes de base dxdy^ parallèles à OZ; mais la hauteur de ces prismes n'a pas la ïïiéme expression aux divers points du plan xy : pour les points compris entre-l'axe des x et les droites ^ = a et ^7= bx^ le volume des petits prismes est limité au second ejHndre parallèle à OY; au contraire, c'est au preniier cy-
lîndrc que se terminent les parallèles menées à OZ par des points compris entre Taxe des r, les droites y = b et aj=^ bx. On partage l'intégrale définie en deux
Vx,= / dr I dr ■-- sja^ — .r* -f- / dy \ dx—Jb^ — j^.
Pour la première, on intègre d'abord par rapport à y. et dans la seconde c'est par a? qu'on commence, et Ton trouve, en écrivant ^1 par analogie,
41. Centre de grai^ité du volume compris entre le plan des xy^ le plan des zx^ la sphère de rayon a dont le centre est à t origine, et le cylindre
Le volume ainsi défini et la surface spliérîque qui le limite ont été étudiés par Viviani. Prenons des coordonnées semi-polaires /', 0 et z -, sur la base du cylindre, on a r = « COS0, et les formules ordinaires conduisent à des quadratures qui ne présentent pas de difficulté :
2 r*a cos $
/» 2 r*a cos er o /
V== I d^ \ rdrsja^-^r'^z ^^~ a\
iSrr — 3?.
Vz,= / I -'(a^—r'')rdQdr=,-^aK
On en déduit de suite Xi, j^i, z^.
42. Des solides terminés par deux faces planes parallèles, et tels que l'aire de la section faite par un plan parallèle à ces bases s* exprime par une fonction entière et du deuxième degré de la distance du plan sécant à l'une d'elles»
La définition précédente comprend un grand nombre de corps remarquables par la simplicité avec laquelle on peut déterminer leur volume et la distance de leur centre de gravité aux bases. Soient 2 A la hauteur d*un de ces corps, z la distance de la base inférieure à un plan parallèle horizontal, pour fixer les idées, et
Taire de la section déterminée par ce plan. Le volume est
[mz^-{- pz -f- q]dz=: -[8mh^-h &ph +6<7). On peut récrire
Les trois parties du crochet représentent Taire de la base supérieure, de la section moyenne et de la base inférieure; dcsignons-les par Bj, B,, Bq, et nous aurons
V= A2^(Bo-hB,+ 41^0-
La distance du centre de gravité à la base inférieure est
2i=~ / {mz^-\-pz -h q)zdz
= II' (6m/;»+ 4/,A + 3) = Il (B. + 2B.). On aura de même la distance à la base supérieure et leur
rapport
zi Bo-haBj
Dans la classe des solides que nous considérons rentrent les segments de surfaces du second ordre, et les polyèdres limités par deux bases parallèles, et latéralement par des triangles ou des trapèzes dont les sommets coïncident avec ceux des bases. Pour le reconnaître dans ce dernier cas, prenons le plan de la base inférieure pour plan des xy] les arêtes latérales ont des équations de la forme
x = az-ha^ y = bz-h^'y
le polygone déterminé par un plan sécant parallèle à Oxy a des sommets dont les coordonnées sont fonctions linéaires du z du plan; ce polygone se projette en vraie grandeur sur O^^, et Ton sait que Taire d'un polygone est une fonction entière du second degré des coordonnées des sommets, et par suite de z. Puisque le nombre des faces latérales est quelconque, on peut les supposer infiniment étroites et en nombre infini : on aura alors un solide limité latéralement par une surface réglée quelconque.
Ce résultat est très souvent utile, surtout si Ton connaît à l'avance une ligne sur laquelle doive être le centre de gravité : en voici quelques applications. Le centre de gravité d'un demi-ellipsoïde divise le demi-axe dans le Rapport de 3 à 5. Quand deux surfaces du second degré se coupent suivant deux coniques situées dans des plans parallèles, le volume compris entre ces deux surfaces (tel serait le volume engendré par la rotation d'un segment de conique autour de l'axe) a son centre de gravité au milieu de la droite qui joint les centres des coniques communes. Que deux ellipsoïdes homothé tiques et concentriques soient coupés suivant des courbes réelles par deux
plans parallèles, le volume compris entre les deux plans et les deux ellipsoïdes a son centre au milieu du diamètre de ce solide; car les aires annulaires déterminées par des plans sécants parallèles sont équivalentes : Bo = B< = B^.
43. Lorsque dans un de ces solides, limités latéralement par une surface gauche, que nous venons de considérer, les centres de gravité des sections parallèles aux bases ne sont plus en ligne droite, on peut déterminer le centre de gravité du solide au moyen d'un élégant théorème dû à M. Darboux. On voit immédiatement que le moment, par rapport au plan Oyz, de la tranche comprise entre les plans menés à des hauteurs z et z -{- dz est de la forme (f(z)dz, ^{z) étant un polynôme du troisième degré.
On a
\xi= I o{z)dz\
mais on reconnaît, comme nous l'avons fait quand ^{z) était du second degré, que l'intégrale est égale à
ç(o) est égal au produit de Bo par l'abscisse ao du centre de gravité de cette aire; <p(2/i) et <p(A) sont égales à Bi ai
et à B2 «2 : remplaçant V par sa valeur et divisant par ^ >
CD a
( Bo -t- Bi -i- 4 Bj)iri = Bo ao -h Bi ai -i- 4 Bj aj.
On a une relation analogue pour jk< . Donc le centre de gravité du solide coïncide avec celui de trois masses égales à Bo, B| , 4B2, placées respectivement aux centres de gravité de la base inférieure, de la base supérieure et de la section moyenne.
i. Centre de gravité d*un arc de cycloïde homogène dont Torigine est au sommet de la courbe.
2. Centre de gravité d*un arc de la spirale r = ae®, 6 étant nul à l'origine de l'arc considéré. (Fuhrmann.)
^ = a^i{e^ — i), Xi — £- [(sin6-h 2CosO)<î'^ — a]/!^-
3. Centre de gravité d'un arc de courbe qui se projette sur OXY suivact la parabole y^== ^aXy et sur OXZ suivant une demicycloïde partant du point 0 et engendrée par un cercle de diamètre b qui roule sur OX. (Fuhrmann.)
xx=^b, 7i = \/ab , zi = ^~ ^ b,
4. Déterminer la masse et le centre de gravité d'une demi-circonférence où la densité est X^, y étant la distance au diamètre de base.
/n = 2XR*, rri = o, y^r= j ,\,
5. Centre de gravité d'un arc de parabole, de lemniscate, de loxodrome.
6. Centre de gravité de l'aire comprise entre un arc de chaînette, sa base, son axe et une parallèle à cet axe.
. a y — a» sy-^ax
A = as, Xi= X y Va = -^^— ■ •
7. Centre de gravité de Taire comprise entre un demi-cercle limité par un diamètre PQ et la podaire du point P relative à la demi-circonférence.
irR» R 8R
