ÉQUILIBRE DES CORPS SOLIDES

Théorèmes sur l'équilibre et la composition des forces.

44. Un système quelconque de forces Fi, appliquées en des points M/ d'un solide invariable, peut toujours être remplacé par une résultante de translation R appliquée en un point arbitraire O du solide et par un couple G. Prenons le point O pour origine de trois axes de coordonnées faisant entre eux, dans le cas générai, les angles \ 1^» V : R a pour composantes

G est le couple résultant de trois couples situés dans les plans coordonnés et ajant pour moments LsinX, M sinjji, Nsinv, si

h==T.(yiZi-ZiYi),

M -= fs ( Zi X/ — Xi 1a i ) ,

Nz:. S(:r,Y/~y/X/).

Pour qu'il y ait équilibre, il faut et il suffit que R et G soient nuls, d'où les six équations connues. On peut dire aussi qu'il faut que la somme des projections des forces sur une droite quelconque et celle de leurs moments par rapport à cette droite soient nulles : il suffit que les projections faites sur trois axes parallèlement aux trois faces d'un

6o RECUEIL d'exercices

trièdre aient une somme nulle, ainsi que les moments par rapport aux trois arêtes d'un trièdre.

Le cas où il n'y a que trois forces offre un intérêt exceptionnel : pour qu'il y ait équilibre, il faut que les trois forces soient dans un même plan et que l'une d'elles soit égale et opposée à la résultante des deux autres.

45. Le système des forces F, ne peut, en général, être remplacé par une seule force ; pour qu'il admette une résultante appliquée en un point (^, JK? ^)j il faut que cette résultante soit égale à R et qu'on ait

(i) ^Z~iîY = L, zX — xZ = M, arY — ^X = N;

or ces équations ne sont compatibles que si

(2) LX-hMY-hNZ = o;

cette condition remplie, les équations (1) se réduisent à deux, qui représentent évidemment la ligne d'action HH' de la résultante. Les équations de HH' peuvent se mettre sous une forme symétrique ; multiplions la seconde équation (i) par — Z, la troisième par Y et ajoutons : nous en tirerons, en désignant X^ + Y^ + Z^ par S^,

on en conclut, par raison de symétrie, que les équations de HH' sont de la forme

NY - MZ LZ~NX MX — LY

^ S2 ^ iSi ^ S-^

S est égal à R quand les axes sont rectangulaires.

L'équation (2), quand les axes sont rectangulaires, exprime queR est perpendiculaire à Taxe de G: il estinté-

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 6i

ressaut, dit Duhamel, de retrouver la même interprétation en supposant les axes obliques. Prenons sur OY et sur 07 des longueurs OB = N, OC = M : on peut former l'un des couples composants de G, Nsinv, à l'aide d'une force F| égale à l'unité, agissant suivant OX, et d'une force Fa égale, mais de direction opposée, appliquée en B; de même on formera le couple Msînjji à l'aide d'une force F3 égale à i , agissant suivant le prolongement de OX, et d'une force F4 appliquée en C; enfin, j'obtiens le

couple Lsin)< au moyen d'une force F5, égale à ^, agissant en B dans le sens de OY, et d'une force Fo, égale, mais de direction opposée, appliquée enC. Les forces F|, F3 se détruisent; les forces F2 et F5, F4 et F© ont des résultantes p, p' dont le plan est celui du couple G. Or p, appliquée en B, rencontre OX en un point A dont l'abscisse est -|-; le plan ABC a pour équation

-^ -h ^ H- ^ = I, La? -i- M y -h N -5 = MN;

l'équation (2) exprime que R est parallèle à ce plan, c'està-dire perpendiculaire à l'axe de G.

Quand les forces F/ n'ont pas de résultante, les équations (3) représentent l'axe central à condition que les coordonnées soient rectangulaires.

46. Le système des forces F/ peut être remplacé par deux forces P, Q, appelées conjuguées et dont l'une agit suivant une droite choisie à volonté, hormis celles dont la direction est parallèle à R. On étudie aisément les groupes de forces conjuguées en remplaçant d'abord le système des F| par une résultante de translation agissant suivant l'axe central et par le couple correspondant, dont je désignerai le moment par K.

6a RECUEIL D^EXERCICES

Étant donnés deux groupes de forces conjuguées P, Q et y, Q', si les forces P, P se rencontrent en un point M, Q et Q' seront dans un plan (x passant en M. En effet, une droite quelconque passant par M et rencontrant Q doit rencontrer Q' puisque, les moments de P, Q et de P' par rapport à cette droite étant nuls, celui de Q' doit aussi être nul : [x est le plan focal de M, M le foyer de (x. Si M se déplace sur une droite, [x tourne autour de la droite conjuguée.

Le tétraèdre qui a pour arêtes opposées deux forces

conjuguées quelconques a un volume constant égal à^RK;

la première partie de cette proposition est un cas particulier du théorème suivant.

47. Théorème de Mœbius. — Étant donnés deux systèmes de forces P<, P2, ..., Pm; Qi, Qa? .-m Q/i équivalents, la somme des volumes des tétraèdres qui ont pour arêtes opposées deux des forces P combinées de toutes les manières possibles est égale à la somme analogue correspondant aux forces Q; le volume du tétraèdre construit sur deux forces sera affecté du signe H- ou du signe — selon que le moment d^une des forces par rapport à la direction de Vautre est positif ou négatif.

Le volume (P, Q) du tétraèdre qui a P et Q pour arêtes opposées est égal au sixième du produit de P et de Q par leur plus courte distance et par le sinus de l'angle de leurs directions, c'est-à-dire au produit

P de ^ par le moment de Q relatif à P. Cela posé, égalons

successivement la somme des moments des forces P et celle des moments des forces Q, par rapport à chacune des m + 71 droites suivant lesquelles agissent les forces P

et les forces Q : il vient

(Pi, Pî)-H(P„ Pa)-+-...-+- (P„ Pm) = (Pi, Ql) 4-...-4- (Pi, Qn)\

(Q«,Pl)-^.-.+ (Q»,P/n) = (Q«,Ql)-h...+ (Q»,Q«-i).

Si l'on ajoute membres à membres ces m -\- n équations, les volumes (P,-, Q/) se détruisent et il reste, en divisant par a,

(Pl,P,)-4-(Pl,P3)-+-...-f-(Pm-l,Pm) = (Ql,Qî)-f-...-+-(Q«-„Qn).

48. Droites en involution de M, Cayley. — Une force P peut, en général, être remplacée par six forces F,, Fj, . . ., Fe qui agissent suivant six droites données et dont, par conséquent, les points d'application et les paramètres directeurs peuvent être considérés comme connus : si Ton exprime que les F,- font équilibre à la force — P, les six équations d'équilibre feront connaître les grandeurs des forces F,, à moins que le déterminant de ces inconnues ne soit nul. Dans ce cas particulier, on peut trouver six forces F|- agissant suivant les droites données et se faisant équilibre ; M. Cayley dit que les droites sont en involution. Lorsque cinq des droites données ont une transversale qui ne rencontre pas la sixième, elles ne peuvent être les droites d'action de six forces en équilibre ; mais si elles ont une transversale commune T, elles sont en involution ; car une force P qui ne rencontre pas T ne saurait être remplacée par six forces agissant suivant les droites données et dont les moments par rapport à T seraient nuls tandis que celui de P ne l'est pas. Cette remarque a été utilisée dans les applications de la Statique à la Géométrie.

49. Equations de V équilibre asiatique. — Dans ce qui va suivre, nous supposerons que les forces F/, appli-

quées à divers points M, d'un solide S, conservent leur direction et leur grandeur lorsqu'on change la position et l'orientation de S; ces systèmes de forces ont été étudiés notamment par Mœbius dans sa Statique et par M. Darboux dans un beau Mémoire sur Y Equilibre astatique : nous allons en établir les propriétés les plus simples. Posons, pour abréger,

2X/=X, 2X|a7/= Xar, SX/^/=Xy, 2X/>S|-=Xx, ...;

nous avons ainsi douze quantités, les U^, qui, pour une orientation déterminée des axes et de S, définissent l'état du solide.

Cherchons les conditions nécessaires et suffisantes pour que les forces F,- se fassent équilibre dans la position actuelle du solide et dans toutes les positions qu'on peut lui donner, en un mot, pour qu'il y ait équilibre astatique. Il faut d'abord que la résultante de translation R soit nulle

Remplaçons chaque force F/ par ses composantes X/, Y/, Z/ : la somme algébrique des X| étant nulle, quelquesunes de ces forces agissent dans le sens de OX et ont une résultante A appliquée en un point a qui occupe toujours la même position dans S, tandis que les autres, agissant en sens contraire, ont une résultante A' égale à A et appliquée en un point déterminé a' de S. De même, les Y/ peuvent toujours être remplacées par deux forces B, B', égales mais de directions opposées, appliquées en deux points 6, bf de S, les Z/ par deux forces C, C appliquées en des points c, c' de S. Je dis que si les bras du levier aa\ bb\ cd ne sont pas nuls tous les trois, on peut amener S dans une position telle qu'il n'y ait pas équilibre.

Orientons S de manière que ad soit parallèle à OX : les forces A, A' se détruisent. Supposons qu'en même temps les couples BB', CC se fassent équilibre : il faut pour cela que leurs plans aient une direction commune qui sera nécessairement celle de OYZ : hV et cd seront parallèles à ce plan; or, si les axes sont obliques, il suffit de faire tourner S autour de ad pour détruire ce parallélisme et rompre l'équilibre : s'ils sont rectangulaires, nous pouvons rendre hV parallèle à OZ; supposons encore les moments de BB', ce égaux et de signes contraires. Si je fais tourner S de i8o** autour de bb\ aa' sera encore parallèle à OX, le moment de BB' restera le même tandis que celui de CC changera de signe et il n'y aura plus équilibre.

Il faut donc, pour l'équilibre astatique, que aa', bb' ^ cd soient nuls et, par suite, que les X/, les Y/, les Z/ soient séparément en équilibre astatique, et cette condition est suffisante; nous avons vu (n° 18) qu'elle se traduit, outre les équations (i), par les neuf équations

X;c = Xjr = X- = o, Yx = Yjr = Y^ = o, Zjr = Zj, = Z^ = o ;

il y a douze équations pour l'équilibre astatique : il faut et il suffit que, dans une position donnée de S, tous les U^ soient nuls.

50. Plan central : réduction des U^. — Lorsque la résultante de translation R des F, est différente de zéro, on peut orienter les axes coordonnés et S de manière à annuler neuf des sommes U^ par la considération du plan central. Supposons dorénavant les axes rectangulaires et envisageons les composantes Çi des F/ suivant une direction définie par les cosinus directeurs a, P? Y • je dis que, si l'on fait varier la direction a, p, y, le centre C des forces parallèles cp/ restera sur un plan ayant une position déter- De S.-g. — Rec. 5

66 TIECUEIL d'exercices

minée dans S. On a, pour la résultante des cp/,

(2) p=aX-f-pY-+-YZ,

et pour les coordonnées de son point d'application C,

P7i=aX^H-pY^-f-YZjr, pzi = aXj-i- py^ -i- Y^x'

Si nous éliminons a, P, y, p entre les équations (2) et (3), nous aurons l'équation du lieu du point C : elle est évidemment du premier degré et représente un plan qu'on a appelé plan central. Comme d'ailleurs le centre des forces parallèles (fi a toujours la même position dans S, quelle que soit l'orientation du solide, il en sera de même pour le plan central.

Cela posé, et S étant dans une position quelconque, prenons pour origine des coordonnées le centre des forces parallèles cp/ dont la direction est celle de R et pour axe OZ une parallèle à cette même direction : nous pouvons orienter S de manière que le plan central entraîné avec le solide soit perpendiculaire sur OZ et confondu avec OXY; les équations (3) devront nous donner ^, = o pour toutes les valeurs de a, p, y ^t a?, = j^< = o pour a = ^ = o ; il faut pour cela que Z^, Z^, X^, Y^, Z^ soient nuls aussi bien que X et Y. Enfin, en partant de l'orientation particulière que nous leur avons supposée, faisons tourner les axes coordonnés et S autour de OZ, les premiers d'un angle 8, le solide d'un angle 8 — 10 : les composantes de F/ suivant les nouveaux axes OX', OY' seront

Xi=X/cos6-+-Y/sine, Y;= — X/ sin 0 -f- Y/cosO,

et les coordonnées de M/ par rapport aux mêmes axes de-

viendront

x'i= ar/coswH-^/sinu), j^J = — ^/ sin ô -+- ^; cosO.

Nous pouvons former SX^j^i et ^Y\x\ ou X^. et Y^.», et nous trouverons

X>-+- y;» = Çiy— yix) sin(e -f- o)) -f- (Xy-f- Y;p) cos(e 4- 0)), X;— Yx'= (Xx-i- Yy) sm(e - 0)) H- (Xy- Y^:) cos(e - a>).

On peut toujours déterminer 0 et co de manière à annuler les seconds membres et, par suite, Xy et Y'^, : alors, parmi les douze éléments U^, trois seulement, Z, X^?, Y^ sont dififérents de zéro. Nous dirons que S est dans la position réduite : celles de ses droites qui coïncident avec les axes coordonnés seront les axes centraux, les sections faites par les plans des yx et des zx sont les sections centrales.

51. Théorème de Minding, — Lorsque la résultante de translation R est différente de zéro, S ne peut être en équilibre, mais il y a une infinité de manières de Torienter de telle sorte que les F/ aient une résultante* Supposons que S soit d'abord dans la position réduite et faisons-le tourner de manière que les axes centraux O^, Oy^ Oz fassent avec leurs directions primitives OXYZ des angles dontles cosinus soient a, a', a^'pour 0:r, 6, 6', 6"pourOj^, c, c'y c" pour O^; mais rapportons toujours tout aux axes centraux. Dans la position réduite, trois des quantités Up étaient différentes de zéro, Z = R, X^r et Y^, dont je désigne les valeurs par )<R et (jlR. On trouve facilement que, après le déplacement attribué à S, on a

X = cR, Y = c'R, Z = c'R, L = Zj.-Yz=6VR, M = -a''XR, N = (a'X — djx^R.

La condition LX -|- MY + NZ == o pour que les F/ admettent une résultante donne, en divisant par R*,

(4) cb''[t.^c'a''l = c'(6(JL — a'X),

ou, en invoquant des relations connues entre les neuf cosinus,

Puisque, aux six relations générales qui lient les neuf cosinus, nous n'avons à ajouter qu'une relation particulière, il y a une double infinité de positions de S pour lesquelles les F,- ont une résultante. Les droites d'action HH' de ces résultantes dépendent de deux paramètres arbitraires et l'on ne doit pas croire, a prioriy que leurs traces sur les plans des sections centrales forment un lieu déterminé : c'est pourtant ce qui a lieu et qui rend plus remarquable le théorème que nous allons établir. En prenant les deux premières équations du groupe (i), n® 45, nous aurons, comme équations de HH',

La trace de cette droite sur le plan O yz a pour coordonnées

,«. ch' Si. — c' a'X a"!

•^ ce c

Si l'on tient compte de l'équation (4), on a

bu. — a'X

mais si , dans cette expression , on remplace tour à tour }^ et [x par leur valeur tirée de la relation (5), on

en tire

et, en combinant avec la valeur (6) de z, on a

donc les droites HH' coupent le plan 0^2 aux divers points de la conique représentée par l'équation précédente ; on trouve de même que le lieu de leurs traces sur O xz est la conique

tandis que la trace sur Oxy peut être en un point quelconque de ce plan . En résumé, on a le théorème de Minding :

On peut donner à S une infinité d' orientations telles que les F/ aient une résultante ; ces disperses résultantes rencontrent les plans des sections centrales l'un suivant une ellipse, l'autre suivant une hyperbole, les foyers de Vune étant les sommets de Vautre; enfin par chaque point de Vune des coniques passent une infinité de résultantes qui rencontrent Vautre conique et forment, comme on le sait, les génératrices d'un cône droit,

52. Quand la résultante de translation des F,- est nulle, lin y a plus de plan central ; mais on peut encore orienter S 6t les axes coordonnés de manière à annuler neuf des sommes U^. D'abord X, Y, Z sont toujours nulles ; d'autre part, en un point quelconque O de S, que je prends provisoirement comme origine, j'applique une force P analogue aux F,- et je considère le système formé de P et des composantes des F, suivant la direction de P ; soit CV le centre de ces forces parallèles ; on peut choisir la direction ûe P de manière que 00' lui soit parallèle. Les équa-

yO RECUEIL D EXERCICES

lions (3), n® 50, montrent qu'il suffît pour cela de satisfaire à deux équations de la forme

or, si l'on cherche à déterminer la valeur commune de ces fractions, on voit qu'elle dépend d'une équation du troisième degré : donc le problème est toujours possible.

Cela posé, si aux forces F/ nous adjoignons P, nous avons un système dont la résultante de translation n'est plus nulle, mais égale à P : en rapportant S aux axes centraux correspondants, O'x, O' y, 0'.s, les sommes de la forme X^, X^, Yx, Y^, Z^?, Z^, Z^ sont nulles; mais tous les termes qui y figurent proviennent exclusivement des F|, sauf 00' X P qui entre dans Z^ ; les six premières sommes peuvent être regardées comme se rapportant aux F, et, dans la position réduite que nous avons déterminée, les U,, sont nuls à l'exception de X^, Y^, Z^. Les moments des couples L, M, N sont aussi nuls, et S est en équilibre : on aura trois autres positions d'équilibre en le faisant tourner de i8o° autour de O'^r, de O' y ou de O' z\ mais on démontre qu'il n'y en a pas d'autre si X^, Y^, Z^ ont des valeurs différentes.

Équilibre d'un seul solide.

53. Conditions d'équilibre d'une barre pesante el homogène dont les extrémités reposent sur deux plam inclinés parfaitement polis qui font avec V horizon des angles a, p.

Je dis que l'intersection des plans donnés doit être horizontale , et la barre dans un plan perpendiculaire à cette intersection. La barre n'étant sollicitée que par son poids P et par les réactions normales N, N' des deux plans, ces trois

SDR LA MÉCAMQUE RATIONNELLE. ^1

forces doivent être dans un même plan V : ce plan est vertical, puisqu'il contient P; contenant des normales à chacun des plans donnés, il est normal à leur intersection, qui est par suite horizontale; enfin, la barre ayant ses extrémités dans ce plan, y est tout entière. Soient donc {Jig' 3)

Fig. 3.

OA, OB les droites suivant lesquelles le plan V coupe les deux plans donnés, AB la barre, x son angle avec l'horizon ; les réactions normales N, N' s'exercent suivant AC, BC, et leur point de concours doit être sur la verticale du milieu de AB. On a

CMsinCAM CM sinCBM AM "" sin ACM ' BM "" sin BGM *

Mais

AM = BM, ACM = a, GAM = - — a - a?,

donc

où

MCB = p, GBM = --?-4-ip;

Q,o^{aL -h a?) cos (j3 — ar) sina ~" sinp ^

tanga? = -(cota — cotp).

Od calculera les pressions N, N' dont la résultante est

égale et opposée à P :

sinBGM sinACM sinACB

P sina

sin(a-i- P) sin(a-i- p)

On aurait pu aussi égaler à zéro la somme des projections des forces N, N', P sur une horizontale et une verticale et celle de leurs moments par rapport à un point de la barre j j'emploie cette méthode dans l'exercice suivant.

o4. Une barre pesante et homogène AB est articulée en A à une charnière qui lui permet de se mouvoir dans un plan vertical; à Vautre extrémité B agit une force Q faisant avec la direction AB un angle donné a ; quel doit être le rapport entre Q et le poids V pour que la barre soit en équilibre et fasse avec V horizon V angle 9? Pression sur la charnière.

Soient X, Y les composantes horizontale et verticale de l'action exercée par la charnière, 2 a la longueur de la barre. Projetons sur une horizontale et sur une verticale les forces qui sollicitent AB :

X 4- Q cos(e -4- a) = o, Y — P -H Q sin(0 + a) = o.

Égalons à zéro les sommes des moments par rapport au point A :

2aQ sina — ûP cosô = o.

Des trois équations obtenues résulte la solution du problème et la discussion en est fort simple.

55. Condition d'équilibre d'une planche elliptique homogène maintenue dans un plan vertical et reposant sur deux chevilles G, H situées à la même hauteur.

Il y a avantage à exprimer que les trois forces qui solli-

citent le solide sont concourantes ; les réactions des appuis s'e:xercent suivant les normales en G et H à l'ellipse, le poids est vertical et agit au centre. Il faut donc que la droite qui va du centre au point de concours des normales en G, H soit perpendiculaire à GH. Prenons pour axes coordonnés les axes de PelHpse, de longueurs 2 a et 26, et soient :r<, yi, X2^ y^ les coordonnées de G et H. Les normales en ces points ont pour équations

a>xy^ — h'^ yxx — (a* — h^^X\y\=. o, a'arj'j — ^^ yx^ — (a* — h'^^x^y^^= o.

Formons une combinaison ne renfermant plus de termes constants, nous aurons l'équation de la droite qui va du centre au point de concours des normales :

La condition pour qu'elle soit perpendiculaire à GH est

(iFi — iF,)(7i--7î)(«*Ji7i^- h^x\Xi) = o.

Il peut j avoir trois sortes de positions d'équilibre ; si l'on faitiCi — :r2= o, le petit axe est parallèle à GH; ce sera le grand axe siy^ — J^a= o î enfin, en annulant le troisième facteur, on a

Zi Z? =__È!.

Xi x% a*'

c est dire que G et H sont aux extrémités de deux diaïnètres conjugués. La possibilité de chacune de ces solutions dépend de la longueur 2 e de GH : la première exige ^ < 6, la deuxième e <Cci\ pour la troisième, il faut que 2.e

sou compris entre a y/2 et BsJt.^ distances minimum et maximum des extrémités de deux diamètres conjugués. Il peut y avoir quatre positions d'équilibre distinctes.

56. Déterminer quatre forces P, Q, R, S agissant à chacun des sommets d^un tétraèdre perpendiculairement à la face opposée de façon qu 'elles se fassent équilibre.

Soient a, 6, c, d les aires des faces du tétraèdre ABCD; chacune est égale à la somme des projections des autres sur elle-même :

a — b cos CD — - c cos DB — d cos BG = o,

b — ccosDA — G?cosAG — a cos CD = o,

1 c — G?cosAB — acosBD — 6cosDA = o, \ d — a cos BG — b cos GA — c cos AB = o.

Projetons les forces P, Q, R, S sur chacune d'elles successivement, et observons que Fangle de deux d'entre elles est supplémentaire du dièdre formé par les plans auxquels elles sont perpendiculaires ; nous aurons quatre équations ne différant des précédentes que par le changement de a en P, 6 en Q, ... ; on en conclut

Chaque force doît être proportionnelle à l'aire de la face à laquelle elle est normale.

Pour que l'équilibre soit assuré, il faut encore prouver que la somme des moments des forces par rapport à trois droites formant trièdre est nulle. Considérons l'une des arêtes du trièdre A, AB par exemple. Les moments de P et de Q sont nuls; soit R =)vC : pour évaluer son moment par rapport à AB, j'abaisse CH perpendiculaire sur le plan ABD, et dans ce plan HI perpendiculaire à AB ; le moment de R est }^c x HI; mais, V étant le volume du tétraèdre,

c= pjt; le moment devient -^^ HI = 3V)<cotAB. On

verra que le moment de S est le même en valeur absolue.

mais de signe contraire. La somme des moments des forces par rapport à AB, AC, AD sera également nulle.

Remarques, — Puisque quatre forces dirigées suivant les hauteurs d'un tétraèdre peuvent se faire équilibre, ces hauteurs sont sur un hyperboloïde .

Le déterminant des équations (i) égalé à zéro donne la relation qui lie les six dièdres d'un tétraèdre.

Ëquilibre de plusieurs corps.

57. Une enveloppe sphérique homogène, de centre G et de poids P, est placée sur un plan incliné qu'elle touche en A, et renferme à son intérieur un petit corps M de poids Q, qui est attiré vers un point O du plan incliné avec une intensité proportionnelle à la distance; position d'équilibre du système.

Je dis d'abord que G et M sont dans le plan vertical qui contient la ligne de plus grande pente du point O ; car supposons M lié invariablement à la surface sphérique : l'équilibre ne sera pas troublé. Or le système sera en équilibre sous l'action de trois forces, l'attraction de O qui s'exerce suivant OM, la résultante verticale de P et de Q, enfin la réaction normale du plan en A : ces trois forces sont donc dans un plan qui est vertical et contient la droite OM ainsi que la normale AG au plan donné ; OA est donc une I^gnede plus grande pente de ce dernier plan.

Soient maintenant OA =^, AGM = 0, N la réaction du point M sur la sphère; les coordonnées du point M par rapport à OA et à une perpendiculaire en O sont

X — Rsinô et R(i — cosô);

les composantes de l'attraction de O sont de la forme — \[x — Rsinô), — XR(i — cosO); on a pour l'équilibre

^6 RECOEIL d'exercices

de M, en désignant par a l'angle du plan donné avec l'ho-

rizon,

— X(a? — Rsinô)-t- Q sina H- N sin6 = o,

— XR(i — cos6) — Qcosa H-Ncos6 = o.

Là sphère est sollicitée par trois forces, N, P et la réaction en A, qui se coupent en C] projetons sur OA :

P sin a — N sin 6 = o.

Éliminons N entre cette équation et chacune des deux premières :

(P 4- Q) sina — X(a: — R sinO) = o, P sinacosO -\- Qsinô cosa — XR(i — cosO)sinO = o.

La première relation donne x quand on connaît 0, et cet angle est déterminé par la dernière ; prenant pour inconnue

tang - 6 = a, elle devient

P sin a M* -f- 2(2XR-t-Qcosa)M3-4- aQ cosa m — P sina= o.

Cette équation et sa transformée en — u ont chacune une variation; il y a précisément une racine positive et une négative, et la substitution de i et de — i montre que la première racine est entre zéro et i, la seconde entre — i et — 00 ; il y a deux positions d'équilibre: pour l'une 0 est <; 90°, pour l'autre, il est entre 180 et 270 degrés. Si P est beaucoup plus grand que Q, u se rapproche de i et de — 1 , 0 de 90 ou de 270 degrés.

58. Une tige AB^ de poids P, est mobile autour de son extrémité A, et soutenue à Vautre par un fil de masse négligeable et de longueur l; ce fil passe sur deux très petites poulies C et D, la première située verticalement au-dessus du point A, et se termine en H oà il soutient l'extrémité d'une chaîne pesante, de longueur \parfaU

tentent flexible, et dont Vautre extrémité est attachée en un point fixe E sur la verticale de la poulie D. On donne la distance AG =^h du point A au centre de gravité de la barre AB, le poids q de V unité de longueur de la chaîne EH, et Von demande la position d'' équilibre du système, (Agrégation, 1871.)

Soit I l'extrémité inférieure de la chaîne ; la longueur HI que le fil doit supporter s'obtient en évaluant de deux manières la longueur DI :

DI = DH-f-m=DE-f->— HI, HI=i(DE-h^ — DU),

et la tension du fil sera T = i ^ (DE -^ X — DH). Le fil

devant tenir la barre AB en équilibre, le moment de sa tension par rapport à A est égal au moment du poids de AB ^

T X AC sin ACB = P^ sinCAB.

Mais, dans le triangle ABC,

sinCAB CB ^ P/iCB

= 7— -, donc T =

sin ACB AB' ABXAC

D'ailleurs BC = / — DC — DH; donc on a, en reprenant la première valeur de T,

l5(DE4-X-DH) = ^(/-DC-DH).

d'où

.„ 2PA{/— CD)— <7AB.AC(DE + 1) Lm z= --— ^ •