P^ — <7AB.AC
La valeur de DH donnera la forme du système. Pour que le problème soit possible, il faut que DH soit positif et inférieur à DE 4- ^, et aussi à / — CD — ( AC — AB) , en prenant pour cette parenthèse sa valeur absolue. Un cas re-
^8 RECUEIL D^EXERGIGES
marquable est celui où Ton a
2PA = çr AB.AC, /— CD = DE -f- X;
DH est de la forme -> c'est-à-dire que le système sera en
équilibre pour toutes les inclinaisons de la droite AB. On trouve là le principe d'un système de ponts-levis, dits à contre-poids variable, dû au général Poncelet.
59. Trois sphères égales, de poids P, de rayon a, sont attachées à un point fixe O par des fils de longueur l — a; sur ces trois sphères, on en pose une autre de poids Q et de rayon b ; déterminer les conditions rf'equilibre du système en supposant les centres des trois premières sphères dans un plan horizontal.
Soient A, A', A'' les centres des sphères de rayon a, Ble centre de la quatrième ; il peut arriver que les sphères A, A', A" se touchent, et que chacune soit en équilibre sous l'action de son poids, du fil qui la soutient, de la pression N exercée par les deux sphères de même espèce et la pression Ni de la sphère B ; ou bien les sphères A, A', A'^ ne se touchent pas et les forces N n'existent plus.
Soient, dans le premier cas, a et |3 les angles de OA et de BA avec la verticale; les points A, A', A" forment un
triangle équilatéral dont le rayon est -y-; on a
2a . f. ia
sina= — — , sinp =
Les pressions exercées par A' et A" sur A se composent en
une force N y/3, horizontale, passant au centre A et située dans le plan AOB; pour l'équilibre de A, il faut que la somme des forces qui le sollicitent, estimées suivant une
perpendiculaire à OA dans le plan AOB, soit nulle :
P sina — Ni sin(P — a) — N /S cosa = o.
La condition d'équilibre de B s'obtient en projetant les forces quile sollicitent sur une verticale: Q — 3N| cos(3=o. Substituons Ni dans la relation précédente :
. Q sin(B — a) , /^
P sin a — ^ — ^-î— s — - — N v' 3 cos a = o. 3 cos p
Pour que l'équilibre soit possible dans les conditions supposées, il faut que Nsoit positif, ce qui donne
3P sinacosp — Q(sinp cosa — cosp sina) > o, OU
a+6 doit êlre <! / pour que a soit < p, mais il doit
être > -— • sinon la sphère B passerait entre les sphères
A, A', A'', et ne pourrait être soutenue. La seule condition pour que l'inégalité (i) soit satisfaite est que Q sou inférieur à la valeur positive qui annule le premier membre.
Nous avons, bien entendu, supposé les trois fils rectil'gnes, sans tenir compte des difficultés qu'entraînerait le ftil de leur rencontre avec la sphère B.
Supposons que les sphères A ne se touchent pas, et soit 2^ la distance de leurs surfaces, en sorte que les côtés du triangle AA'A'' soient i{a-\-x)\ les formules trouvées pour le premier cas se modifient d'une façon très simple ;
8o RECUEIL d'exercices
on trouvera
sina=-^^ 7^—^? sinp = 7^»
^ . Q sin(B — a) ., ., Q
Psina— -^ — ^ Q ^ = o, N = o, Ni= ^ q> 3 cos p 3 cos p
On en lire
(a-+-a?)2= -(a-h6)2 — v / nl .
4' ' 4 3P2-h2PQ
On reconnaît que, P étant constant, a -{- x diminue quand Q augmente; pour Q = o, on a
a-+-a? = — (« -h 6), d'où 3=-: 2 ^2
B est dans le plan A A' A'', Q pourra augmenter jusqu'à ce qu'on trouve x = o, et alors il a précisément la plus grande valeur qui satisfait à l'inégalité (1)5 quand Q est inférieur à cette limite, il y a deux figures d'équilibre; au delà, il n'y en a plus.
60. Un segment de paraboloïde de révolution dont Vaxe est vertical et le sommet O en bas repose sur deux plans également inclinés, qui le tiennent en équilibre; si on le suppose partagé en deux moitiés par le plan vertical qui contient V intersection des deux plans fixes, quelle hauteur maximum peut-on donner au segment sans que les deux parties se séparent? (Walton).
Soient A le point où l'axe du paraboloïde coupe, à angle droit, la base du segment ; OA = A ; C, C les points
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 8l
de contact avec les deux plans ; i Tinclinaison de chacun de ces plans ; je prends OA pour axe des z, le plan de séparation des demi-segments pour plan des^;:, et une perpendiculaire en O pour axe des x. Le centre de gravité du volume OAC est situé dans le plan ZOX, et l'on obtient son abscisse en décomposant le volume en tranches parallèles à ZOY ; on trouve aisément
ari =
Tzh^p
f y^ph-x^(h-^)xdx=^sf^.
Les coordonnées du point de contact C sont/? tang/, zéro -jotang^t; la réaction normale du plan rencontre la vcrticale du centre de gravité en un point H dont le z est
z' = -/? tang*i — {xi — p tangi) coli = - pii-^ tang* i) V - Jiph cot i.
Les deux segments exercent l'un contre l'autre une pression qui est nécessairement horizontale, et dont le point d'application est entre O et A ; la pression exercée sur l'un des solides doit faire équilibre à son poids et à la réaction du plan sur lequel il s'appuie 5 ces deux dernières forces ont une résultante qui passe en H, et qui, pour une valeur convenable de la réaction du plan, est horizontale; «lais, pour qu'elle puisse détruire l'action du second solide, il faut que z^ soit >> o :
— < -^ (2 tangn- tang»0-
On a ainsi la hauteur maximum compatible avec TéquU ^'bre : on aurait la hauteur minimum en exprimant que z' est < h.
Db S.-G. — Rec, 6
61. Déterminer la forme d^ équilibre d^ un polygone plan ABCDEF dont chaque côté est sollicité par une force qui liii est perpendiculaire j appliquée en son milieu et proportionnelle à sa longueur.
Cette question, résolue par Fuss [Mémoires de V Académie de Saint-Pétersbourg, 1817), peut être traitée simplement en partant de ce théorème que, si trois forces se font équilibre, elles sont concourantes et dans le même plan. Le côté AB est en équilibre sous l'action de la force XAB qui lui est normale, et des deux réactions R, R' exercées par les côtés voisins AF, BG; ces deux forces doivent concourir en un point I sur la perpendiculaire au milieu
M de AB; AIB est isoscèle, et R = R'=: ^:^^, - Or ' ' 2SiniBA
élevons en B une perpendiculaire à IB qui rencontre IM en O ; on voit que R = XBO, BO = y' Pour une raison analogue, la perpendiculaire au milieu de BC coupe BO en O', tel que )wBO'= R; donc BO = BO', et les droites menées par les sommets perpendiculairement aux réactions mutuelles des côtés qui y aboutissent concourent en un point O équidistant des sommets. Le polygone ABCD... est inscrit dans un cercle, et les réactions des côtés les uns sur les autres sont égales et tangentes au cercle.
Imaginons un vase dont les faces latérales soient des rectangles articulés suivant leurs droites d'intersection supposées verticales, et dont le fond soit formé d'une membrane extensible; si Ton verse un liquide dans le vase, chaque face latérale éprouvera une pression normale proportionnelle à son aire, et la section droite sera un polygone inscrîptible dans un cercle.
62. On donne dans un plan vertical un assemblage A^CDE formé de quatre barres égales, pesantes et homo-
gènes, articulées entre elles en BCD; les extrémités A et E sont attachées par des charnières à deux points fixes d^une horizontale; on demande la forme d^ équilibre* (Couplet, Des charpentes,)
Comme le poids P de chaque barre peut être remplacé par deux poids \ P appliqués à ses extrémités, le polygone ABCDE est dans les mêmes conditions que si des forces verticales P étaient appliquées à ses sommets mobiles et je puis suivre la méthode de Varignon pour l'équilibre du polygone funiculaire : je mène par un point O {Jig* 4)
Fiff. 4.
une droite 06 parallèle au côté AB du comble et proportionnelle à la pression qui s'exerce sur chaque seiction droite de cette barre; puis, par le point 6, une verticale bc proportionnelle à P: Oc représentera en grandeur et en direction la pression du côté BC ; de même, si cd=:de=^ P, Orf, Oe seront parallèles à CD et DE. Cela posé, je dis que Oc et Orf font des angles égaux avec l'horizontale OH ; car, si l'on avait c OH > HOrf, on aurait aussi 60H > HOe; la projection de ABC sur une verticale serait plus grande que celle de CDE, et A et B ne seraient pas sur une même horizontale.
Alors 6H = 3cH; si donc a et (3 sont les angles de AB
84 T\ECI3EIL d'exercices
et de BC avec riiorizon, on aura
tanga = 3 tangp.
Il suffit d'écrire que AE est égale à la projection du polygone sur rUorizon pour avoir une seconde équation entre a et|3
/=^(cosa -h cosp).
Posons tangP = x^ et éliminons a :
Quand x croît de zéro à oo , le premier membre décroît de 2 à zéro •, il y a donc une et une seule solution quand l'écart AE est moindre que deux fois la longueur d'une barre.
63. Position d'équilibre de deux poids égaux assujettis à rester* sur une parabole dont l'axe est vertical, et se repoussant as^ec une intensité inv^ersement proportionnelle à leur distance.
Soient A, B les deux points, x^ y^ ^\j' leurs coordonnées, •:!:*= ipy Téquation de la parabole. En écrivant pour les deux points la condition X dx-^ Y ^ = o, on trouve deux équations de la forme
(^~^'>+(r-.rT -^^^'-^•
Remplaçons j"^ etj^' par — ? — j et débarrassons les frac-
lions du facteur x — x^ qui ne peut être nul; il vient ^^^ ^x-^x')\^p^^^x-^x'f\ - ^^ - ^»
2 Ip'^-^X'{X-\'X') ,
Retranchons la première de la seconde, et simplifions encore la fraction : il vient
On a d'abord la solution x' =i — x^ et, en substituant dans l'une des équations (i), on trouve
=-'=Vé-
Pour obtenir une autre solution, on divise l'équation (2) par X + ^', et l'on en tire
cela posé, ajoutons les équations (i) après avoir multiplié la première par x\ la seconde par x\ on en déduit
xx' = — 2/?*;
on connaît la somme et le produit de x et de x' , Cette seconde solution est réelle toutes les fois que \k^ — igp^o.
Équilibre en tenant compte du frottement.
64. Une tige pesante OA, parfaitement mobile autour de V extrémité O, s^ appuie en K contre un plan vertical dépoli; déterminer la position de la barre quand elle est sur le point de glisser.
Soient a la longueur de OA, 0 son angle avec la perpendiculaire OP abaissée sur le plan fixe, i( l'angle du plan
86 RECUEIL d'e*ERCICES
AOP avec l'horizon, N la pression normale, /N la force de frottement dirigée suivant la tangente en A au cercle que A peut décrire sur le plan fixe. Prenons pour axe des z la verticale de O, pour axes des x OP, pour axe des y une perpendiculaire aux deux premières ; les coordonnées de A sont a cosO, a sinô cos^j/, a sinô sin<]> ; les composantes de la force de frottement X = o, Y = — /N sin <{;, Z = /N cos <{;. Nous n'avons qu'à égaler à zéro la somme des moments par rapport à OZ :
— a/Nsinij; cos6 -H aN sin6 cosi}» = o, tangij; = — tangÔ;
il j a toujours une solution indépendante de la longueur* de la barre.
6S. Une tige homogène AB peut tourner dans un plan vertical autour de son milieu C, et porte à une de ses extrémités B un poids Q ; une autre tige OE, mobile autour d^une de ses extrémités O, appuie sur V extrémité A de la première tige; le point O est situé verticalement au-dessus de C à une distance
C0 = GA = a;
déterminer la position du système quand le point A est près de glisser sur OE, en remontant vers O ou dans le sens opposé.
Le poids P de OE peut être considéré comme appliqué en son centre de gravité à une distance A de O. Soient a l'angle COE = CAO, / le coefficient de frottement quand le point A sera près de glisser vers E, la barre AB éprouvera en A une action N normale à OE, faisant avec
AB l'angle a, et une action ^N faisant l'angle a en
dessus; prenons par rapport à C, les moments des forces qui sollicitent AB :
Q sin 2 a — N cosa4-/N sin a = o.
Prenons par rapport à O les moments des forces qui agissent sur OE :
2 N a cos a — P A sin a = o.
Éliminant N :
sina[4aQcos*a — PA(cosa — /sina)] = o.
On a la solution évidente a = o et une autre qui dépend d'une équation du quatrième degré. Quand le glissement doit se faire vers AO, on change y en — /.
66. Une tige pesante et homogène AB s ^appuie par son extrémité A sur une horizontale XX' et touche en un point variable M une courbe située dans le plan vertical qui contient V horizontale donnée; les coefficients de frottement sur cette droite et sur la courbe sont égaux. Déterminer la courbe de manière que, dans toutes ses positions, AB soit sur le point de glisser.
Prenons pour origine un point O de l'horizontale XX', que nous choisirons plus tard, et désignons par 2a la longueur de AB, par P son poids, a son inclinaison sur OX, N et N' les réactions normales en A et M, © l'angle de frottement. Projetons les forces sur une horizontale, une verticale, et prenons les moments par rapport à A ;
/N = N'(sina — /cosa), P = N 4- N'(cosa -h/sina),
aP cosa = —. — , sina
Y étant l'ordonnée de M. On tire de ces équations
„ Psin9cosco . Pcos<psin(a — o)
sina sina
y = —. sin*a cosa.
•^ sinacp
Cette dernière équation détermine la courbe cherchée;
mais, pour la construire, il est commode d'exprimer x etj^ en fonction de a, et de faire varier ce paramètre au lieu de l'éliminer. En posant 2a = /isin2cp, on trouve
y = n sin* a cos a, cÇ^ = n( 3 cos* a — i) sin a t/a, dx = dycotoL = /i(3 cos* a — i)cosaé/a, a? = (2 — sin^a)/! sin a,
^ s'annulant avec a. La courbe est symétrique par rapport aux deux axes, parce que, si l'on change a en — ol^ y ne change pas, et x se change en — a:; si l'on remplace a par 71 — a, c'est X qui ne change pas. Il suffit donc de faire
varier a de zéro à -; quanda variedezéroàai = arccos —^, X ely augmentent tous deux en partant de zéro, pour atteindre, le premier la valeur | ^ i/ô> l'autre ^ n K/ \ • En
ce point, il y a rebroussement, et quand a varie depuis la valeur ol^ (54° 44') jusqu'à 90 degrés, x ely diminuent, le premier jusqu'à /i, le second jusqu'à zéro.
Les équations d'équilibre ont été écrites en supposant a compris entre zéro et 90® : la partie correspondante de la courbe répond seule à la question, et encore a doit-il surpasser (p et ai pour que N soit positive et que AB repose réellement sur la courbe .
Quand (p varie, on obtient des courbes homothétiques : l'équation de l'une d'elles serait, en coordonnées polaires,
r* — (36cos*ô — 27COS*e — 8)/iV»-+-i6n*sin20 = o.
67. Quels doivent être les coefficients de frottement du fer sur le fer et sur le sol pour que quatre boulets sphériques égaux, disposés en pile triangulaire y soient sur le point de glisser?
Soient P le poids commun des quatre sphères, O le centre d'une des trois sphères inférieures, O' celui de la sphère supérieure; la droite 00' fait avec l'horizon un
ancle a dont le cosinus est -— ; soient encore N et T les
composantes, normale et tangentielle, de la réaction que le sol exerce sur la sphère O ; N', T' les composantes de la réaction exercée parla sphère O', ZO' la verticale dupoin» O'- Par raison de symétrie, c'est dans le plan 00' Z que tendent à se déplacer les points de contact de la sphère O avec le sol et avec O'; c'est donc dans ce plan qu'agiront les forces T, T', toutes deux étant évidemment dirigées du côlédeO'Z. Les forces qui sollicitent la sphère O étant contenues dans le plan 00' Z, trois équations sont nécessaires et suffisantes pour qu'elles se fassent équilibre :
T + T' sinod^ N' cosa, N = P -h N' sina -+- T' cosa, T = T'.
I Pour que O' soit en équilibre, il suffit d'exprimer que la
j* somme des projections vecticales des forces qui agissent [ surcette sphère est nulle, les autres conditions étant d'elles-
mêmes satisfaites :
3N' sina -+- 3T' cosa — P = o.
Des équations précédentes on tire
3 3 3 i-H sina 3
Pour que T et T' puissent prendre ces valeurs, il faut que le coefficient de frottement du fer sur le fer ou du fer
sur le sol soient au moins égaux à :j^, et à :j^ > c'est-à-dire à
V^ — v/2 et à - — Y^' On a négligé la résistance au roulement.
68. Formule de M. Kurtis. — Pour qu'un solide soit en équilibre sous l'action d'une force donnée et de deux réactions de grandeur inconnue, il faut et il suffit que les trois forces soient dans un même plan et concourantes, les
go RECUEIL D EXERCICES
grandeurs des réactions pouvant toujours . être prises de telle sorte que leur résultante soit égale et opposée à la force connue. Soient A le point de concours des trois forces, B, G les points où sont appliquées les réactions, D le point où la ligne d'action de la force donnée va rencontrer BC; M. Rurtis a signalé, dans le Cambridge Messenger of Mathematics , une relation qui suffit souvent pour trouver la position d'équilibre du solide. On a
BDsinB GDsinC^ sin BAD "" siiTCÂU '
si Ton remplace sin B et sin G par sin(ADB -j- BAD) et par sin(ADB — DAG), on déduit de là
, ^„ DG cotCAD — DB cotBAD (i) cot ADB = g^ —
Si l'on remplace au contraire sin BAD et sinGAD par sin(B -f- ADB) et par sin(ADB — G), on trouve
,^„ DBcotC — CDcotB cot ADB = r^
Je citerai seulement l'application de la formule (i) au calcul de l'angle a que doit faire avec l'horizon, sur le point de glisser, une échelle BG appuyée en B contre un mur vertical et reposant, en G, sur un sol horizontal ; les angles de frottement sont (p et (p', et l'on suppose l'échelle perpendiculaire à la trace horizontale du mur sur lequel elle s'appuie. Le point D doit coïncider avec le centre de gravité de l'échelle, et l'équation (i) devient
DGcotç'—DB tanffo
SUR LA MÉCÂIflQUE RATIOITSEXLE. QI
i. Position d*équilibre d*une barre pesante et homogène s*appayant, d'un bout, sur la surface interne d'un hémisphère fi\e, de l'autre contre un plan vertical. Si a, 0 sont les inclinaisons de la barre et du rayon allant au point d'appui,
tangO = 2tangs, aacosa = rf-h Rcos6.
2. Une planche très mince, homogène, rectangulaire, peut tourner autour d'un de ses côtés AB qui fait l'angle a avec la verticale : calculer la force Q qui doit agir normalement sur la planche à la distance / de AB pour que son plan fasse l'angle ^ avec le plan vertical mené par AB.
/Q= aPsinasin^, P poids de la planche, aa sa largeur.
3. Composer les forces représentées parles côtés d'un polygone fermé.
Elles forment un couple dont la projection sur un plan quelconque est égale au double de l'aire de la projection du polygone sur ce plan.
4. Montrer que quatre forces qui se font équilibre sont dirigées suivant quatre génératrices d'une surface du second ordre; réciproquement, suivant quatre génératrices d'un même système d'un hyperboloïde ou d'un paraboloïde, on peut faire agir quatre forces qui se feront équilibre.
Voir une Note de. M. Darboux au Cours de Despeyrous.
5. Condition pour que trois forces P, Q, R agissant suivant des arêtes d'un parallélépipède non situées deux à deux, dans le même plan aient une résultante : ligne d'action de cette résultante. (Gilbert.)
Je représente les arêtes considérées par les équations
s'il existe une résultante appliquée en (a?, jTj z), on aura ^__.Q^ = 6R-f-cQ, P>5 — Ra7 = cP-i-aR, Qa? — Pj^ = aQ -+- ôP
ga RECUEIL D EXERCICES
équations compatibles si
bcP ■+- caQ 4- aôR = 0.
6. Une barre pesante et homogène, de longueur 2a, est supportée par une cheville horizontale G tandis qu'une de ses extrémités s'appuie contre un mur vertical : calculer Finclinaison a de la barre quand elle est en équilibre, ainsi que les réactions N, N' du mur et de G.
c étant la distance de G au mur, on trouve
cos3a = -, N = Ptanga, N'=-
a cosa
7. En divers points d'un solide qui ne peut que tourner autour d'un axe fixe OZ, sont appliquées des forces de grandeur et de direction invariables : montrer qu'il y a deux positions d'équilibre (Gaen, 1879).
Soient x, y^ z les coordonnées initiales du point auquel est appliquée la force X, Y, Z, cp l'angle dont le solide a tourné à partir de sa première position : l'équation d'équilibre peut s'écrire
coscp 2(a7Y — ^X) — sincp S(iFX-i-j'Y) = o;
on reconnaît les deux positions d'équilibre, et on voit tout de suite que l'une est stable, l'autre instable.
8. Position d'équilibre de deux sphères pesantes, respectivement tangentes à deux plans inclinés et tangentes l'une à l'autre. (Walton. )
Les centres 0, O' sont dans un plan vertical perpendiculaire à l'intersection des deux plans : on égale à zéro la somme des projections des forces qui sollicitent chaque sphère sur la ligne de pente du plan qui la supporte : 6 étant l'angle de 00' avec l'horizon,
. P'cota— Pcota' tangO= p— p^
9. Une tige homogène de longueur ia, de poids P, s'appuie contre la surface interne et sur le bord d'un cylindre creux qui repose sur un plan horizontal : quel est le poids minimum M du cylindre qui permette l'équilibre du système?
On trouve
2R<a, et M
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. qS
10. Une sphère, posée sur un plan horizontal, est attachée par un fil à un point O de ce plan; en O s'articule une tige pesante qui appuie sur la sphère en un point situé dans le plan vertical qui passe par le centre et par le point O : calculer la tension T du fil.
On connaît les distances a, c du point O au centre de gravité de la barre et au centre de la sphère; P étant le poids de la barre,
11. Une tige horizontale BGD porte un poids P à son extrémité D et s'articule à l'autre extrémité en un point B d'une verticale OZ : la tige est soutenue en G par une barre oblique AC, dont l'extrémité A est fixée en un point de OZ : déterminer les réactions mutuelles des diverses barres en négligeant les poids de ces barres elles-mêmes.
Il suffit d'écrire les équations d'équilibre de BD et de AC.
12. Une tige pesante et homogène AB s'appuie en A sur une horizontale dépolie OX et en B sur une courbe parfaitement polie située dans le plan vertical qui passe par OX : déterminer la courbe de manière que AB, dans toutes les positions qu'elle peut prendre, soit sur le point de glisser.
a étant la longueur de la droite, cp l'angle de frottement, la droite doit s'appuyer sur la partie concave de l'ellipse
4^* -h (a? — j^cotcp)2 = 4a';
l'arc utile de cette courbe est situé au-dessus de OX et limité au point où la tangente fait avec OX l'angle iz — cp.
13. Une barre homogène de longueur a, de poids P, s'appuie par une de ses extrémités A contre un mur vertical dépoli ; l'autre extrémité B est reliée, à l'aide d'un fil de longueur /, à un point fixe 0 situé verticalement au-dessus du point A : calculer l'angle 6 que fait AB avec la verticale quand elle est sur le point de glisser.
L'angle w du fil OB avec la verticale est donné par l'équation
(4aî — 4 1^ — /2 /2) tang2 w ± ifl^ tango 4- 4a2 — /« = o;
CI» prend le signe -h ou le signe — selon que A est sur le point de glisser en remontant ou en descendant; on a ensuite
/sino) = asinO.
94 KECUEIL d'exercices
14. Une barre pesante et homogène AB, de longueur 2a, est placée horizontalement à l'intérieur d'une sphère dépolie : chercher le minimum h de différence de niveau qui doit exister entre le centre de la sphère et la barre pour que celle-ci ne glisse pas.
AB tend à glisser en restant horizontale et les forces de frottement sont tangentes aux circonférences que décriraient ses extrémités : si on projette sur une horizontale perpendiculaire à AB les forces qui agissent sur cette barre, on trouve
Rî — a»
v/'R2 — a» -f- RV^
15. Un chariot supporté par quatre roues égales est placé sur un plan incliné P ; les essieux sont horizontaux et le centre de gravité est au centre du rectangle qui a pour côtés les deux essieux : calculer l'angle i que P doit faire avec l'horizon pour que le chariot soit près de glisser, les deux roues de devant étant enrayées. (P. Jullien. )
ia étant la distance des essieux, R rayon des roues,
tangi = — -'
la — rf
16. Un solide étant sollicité par plusieurs forces de grandeurs et de directions constantes, montrer qu'il suffit, en général, d'adjoindre trois forces de même nature pour établir l'équilibre astatique. Quand le solide se réduit à une figure plane et que les forces sont dans le plan de la figure, il suffit d'une force pour assurer l'équilibre astatique.
17. Montrer qu'un solide est en équilibre quand chaque élément d<5 de sa surface est pressé normalement par une force X dz.
Les composantes des pressions suivant trois axes rectangulaires se font équilibre deux à deux. M. Bertrand a conclu de ce théorème que l'équilibre a encore lieu si la pression normale est
(Ri"*"R2/
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. q5
