ÉQUILIBRE D'UN FIL FLEXIBLE

69. Considérons un fil parfaitement flexible et inextensible; chaque élément ds est sollicité par une force extérieure Fds dont les composantes, suivant trois axes rec- • langulaires, sont Xrf^, Y dsj Zds; ï désignant la tension en un point du fil, on a les équations d'équilibre

(i) fi?.T ^ -h X t/5 = o, d.T^^-^Yds = o, d.T^-^Zds = o. as as as

On pourrait en déduire 7, z^ T en fonction de x, ce qui déterminerait les conditions de l'équilibre. Si l'on ajoute les équations (i) après les avoir multipliées

respectivement par ■;7- ' 77- > 77- o^ P^^r ^ 7F' * " ' ^^ enfin

par dyd^z — dzd^y, ..., on arrive à trois relations, qu'on peut aussi obtenir en projetant les forces qui sollicitent l'élément rf^ sur la tangente, la norfnale, la binormale :

i'^ — dT = X. dx -{- Y dy -^ Z dz ; le second membre représente la composante tangentielle de Fds; quand il est intégrable, on peut calculer T en fonction d'une constante et des coordonnées d'un point quelconque du fil.

T ds 2® p étant le rayon de courbure, ' est égal à la composante normale de la force qui sollicite l'élément ds] cette relation peut servir à trouver le rayon de courbure de la courbe funiculaire.

gC RECUEIL d'exercices

3® La résultante de Xrf^, Y ds^ Tjds est dans le plan osculateur à la courbe.

70. Forme d^ équilibre d^ un fil flexible, homogène, non pesant, dont les extrémités sont fixées, et dont chaque élément ds est repoussé d^une droite fixe AB par une force perpendiculaire à cette droite et proportionnelle à la distance de ds à AB. U hélice peut satisfaire aux conditions de la courbe funiculaire. Cas où les extrémités du fil sont dans un plan qui contient AB. Cas ou elles sont en A, B, et ou la longueur du fil surpasse peu la distance AB. (La partie principale de ce problème a été proposée pour l'agrégation en 1842.)

Prenons un système d'axes rectangulaires dont A soit l'origine, AB étant l'axe des x\ les équations d'équilibre ont la forme

^ ^ ds ^ ds -^ ds

dx La première donne, ï-j- = G. Il est aisé de reconnaître

que le système est satisfait si le fil a la forme d'une hélice tracée sur un cylindre dont l'axe est AB et le rayon R. Soit a l'angle des tangentes avec AB; on aurait

dx dy -ssina dz ^sina

57""^'^'''' Ts^ R~' 5J""""R

Substituons dans les équations (I), on aura

m C - rsin'a . ^.sîn^a

T = , —^éi 1-0)2^^=0, —G— ha)î^ = o.

cosa K*cosa "^ K^cosa

Le système est verilie en laisant L* = — r— r — > ce qui donne la tension en chaque point de l'hélice.

Revenons au cas général : T est essentiellement positive, sauf en quelques points où elle peut s'annuler; si donc G était nul, dx le serait aussi et le fil serait dans un plan perpendiculaire sur AB. Je laisse ce cas de côté et, en choisissant convenablement le sens où x croît, je puis écrire

On a

et si Ton pose

on en tire

as 2

dT = — (D^{ydjr-^zdz)f

^n^rcosO, ^ = rsin6,

T= ituVa'— r').

Ajoutons enfin la deuxième équation (I) multipliée par — 5 et la troisième par y : il vient

jrrdz ,rr>dy —/ dz dy\ m . ^^ i », •

yd.T- zd.T'^= o, T { y -z 3-f.= Tr^ — =- b^o}^.

ds ds y ds ds J ds 1

L'élimination de ï donne les équations de la courbe funiculaire :

c^ -Y- =^ a- — r', b^dx = r^c^d^, dx

On voit que a: et 0 vont sans cesse en croissant d'un bout à 1 autre du fil. Si les deux extrémités sont dans un plan passant par AB, 6 sera constant ou croîtra de an?!. Plaçonslïous dans le premier cas, seul admissible si un bout du fil est au point A, ce qui exige 6 = 0; le fil est dans un plan passant parla droite AB; en le prenant pour plan des xy^ nous ferons r = y, et nous aurons

(II) c'— =a'-jKS ^^ - H- g!^

ax ^^^a*— y*)*—c'*

Si la seconde extrémité du fil est sur AB, il y a un point

De S.-G. — Rec. 7

gS RECUEIL d'exercices

où -T- = I. Dans ce cas, a^ > c^ ; jk va d'abord en croissant de o à yja^ — c^ ; le radical est alors > o, puis il change

désigne;^ décroît jusqu'à — \ja^ — c^, et croît ensuite, etc. On peut mettre dx sous une forme plus simple, en posant

/ z=i \ja} — c» sin^, €lx =z

yJa} -+- c* i / I sin*o»

L*expressîon de ds se forme à Taide de (II)

ds = dx — z=z [ -^ \\da:

= «<p v^'-H ^ \/ ' :^ i sm'y — dx.

On a ainsi des intégrales elliptiques de première et de deuxième espèce. Comme, au point B, jk = o, (f doit varier de o à HTT, et la courbe présente n branches égales, tour à tour au-dessus et au-dessous de AB. En général n peut être choisi à volonté. Pour déterminer a et c, on exprime que, pour (f = /ztt, s = 2I et .r = 2 A, ce qui donne aisément

l-hh=zn v/^M- c' J ^? y/i - ^:^ ~ sin»<ï);

mais ce soni deux équations transcendantes. La courbe est

quarrable. Soît w = i :

: I f — €iff = C^ I ^ ^

^,j^^^±sf^Zl

L*aîre engendrée pour la révolution autour de AB est aussi quarrable.

Pour le cas où / surpasse peu A, je pose a^ — c*= £*, et j*ai

c^ dy

dx=i

on remplace ac'-f- c' — j^ par ac', et il vient dx = = î j =r e sm j

rfç =r ^j: i / I H j-

ces' — ^— - — c?^ I 1 -}- - cos^ i-

Les conditions données par le point B sont

On en déduit les constantes c et s, et Téquation de la courbe devient

C'est une sinusoïde. La tension est