Remarques sur l'équilibre d'un fil pesant. Applications

La courbe dessinée par un fil en équilibre sous la seule action de la pesanteur est toujours dans un plan vertical; en désignant par T et p\a. tension et le poids spécifique en un point quelconque, où la tangente fait l'angle a avec rhorizon, on déduit des théorèmes généraux

T cosa = G, — = p cosa,

P d'où

G = /?p cos*a.

Cette dernière relation montre comment doit varier la densité aux divers points du fil pour qu'il dessine une courbe donnée, par exemple un cercle, une cycloïde, une parabole, une hyperbole équilatère, les points les plus bas de ces courbes étant des sommets : la valeur de p est, avec ces diverses courbes, de la forme

1° a, 2° 4<^cosa, 3'* — -— ? A" a(cos2a) *; ' ' cos^a

on aura, pour la densité,

G G G G (cos2a)2

P = 7-9 P = -, ^> P — - cosa, p — - r-^*

^ ûCos*a ^ 4^cos^a ^ a ^ a cos*a

Inversement, on peut déterminer la courbe quand on

donne la loi de la densité; supposons cette densité con-

G stante et — = a : on aura

ds . cos' a dy

a = p cos* 0L = ~=- cos* a = —. >— :

' aac sin a d%

on en conclut, en choisissant des axes convenables,

(i) r= 9 5=atanga, T = — ^ = /? y.

^ ^ *^ cosa *' ' a ^'^

La première de ces relations caractérise la chaînette et

conduit aisément à son équation bien connue. Je vais indiquer deux applications simples de cette équation et des résultats précédents.

I® Un fil homogène ABB'A', de longueur 2/, est pose sur des chevilles B, B', situées sur une horizontale à la distance im l'une de Vautre; les portions BA, B'A' pendent librement et sont de même longueur : déterminer la longueur 2s de l'arc de chaînette BB'. (Annales de Gergonne, XIX.)

L'équation de la chaînette à laquelle appartient Tare BB' peut s'écrire

les abscisses des points B, B' étant égales à d= m ; en écrivant que la tension en B est égale au poids de la portion AB du fil, on a

d'où

ae" — / = o;

celte équation fait connaître le paramètre de la chaînette et par suite la longueur 5: son premier membre, infini pour « = o et pour a = co, atteint sa valeur minimum me — / pour a= m. L'équation a deux racines et il y a deux figures d'équilibre si / > me : il n'y en a plus si / < me. La question 3'applique évidemment à une pièce d'étoffe qui serait portée sur deux tringles horizontales parallèles.

2° Les extrémités d'un fil pesant et homogène sont fixées en deux points H, H' d'une horizontale ; une petite ^asse, de même poids que le fil, est attachée en son milieu M. Quel doit être le rapport de la distance HIF =2/4

à la longueur il du fil pour que les deux parties qui se réunissent en M y soient orthogonales? {Csien^ 1886.)

Pour l'équilibre du point M, il faut que les tensions des deux brins MH, MU' en ce point aient leurs projections horizontales égales; or la mesure de chacune de ces projections est de la forme /?a, a étant le paramètre de la chaînette décrite par le fil correspondant. Les arcs MH, MH' appartiennent donc à des chaînettes égales, et ces arcs sont symétriques Tun de l'autre. En M, la composante verticale de la tension du fil MH est égale à pi, en H h. 2 pi; les composantes horizontales étant les mêmes, Je fil fait en H av'^c Thorizon un angle dont la tangente est 2. Si l'arc MH satisfait à une équation de la forme (2), ^i étant Tabscisse de M, on aura

d'où

.ri ./ /-\ Xi-\- h / /-s h - 2 H- \/5

mais, si l'on appelle s l'arc de chaînette compris entre le sommet de celte courbe et le point M, la seconde des équations (i) donne

s = a, s -\- l =. lay l = a; on a donc pour le rapport cherché

72. Un fil flexible et inextensible, pesant, est fixé à ses extrémités; outre son poids, chaque élément supporte une chai ge proportionnelle à sa projection horizontale: déterminer la loi suivant laquelle varie V épaisseur du fil lorsque la tension en chaque point est proportionnelle à

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. Io3

V épaisseur ; forme de la chaîne, sa longueur, son poids. Application numérique pour mettre en évidence la nature des constantes : le câble est en fer, dont le poids spécifique est 7,7; les deux points d* appui sont à 100 mètres l'un de l'autre sur une horizontale, la flèche de l'arc est de 10 mètres, le poids supporté par la chaîne est 3oo kilogrammes par mètre de projection, enfin la tension doit être de 1 1 kilogrammes par millimètre carré de section .

Les équations du problème sont de la forme suivante :

t/. T -T- — o, d,!! ~ — p ds — q dx =1 o^

p étant le poids d'une longueur égale à l'unité avec l'épaisseur correspondant à l'élément ds^ q la charge additionnelle pour une longueur dont la projection est l'unité. On doit avoir T = ap. En appelant cla valeur de p au point le plus bas, les équations précédentes donnent

dx .dy ds^ ,

ou

acd^ dx

= dx.

dyi

Intégrant, en prenant pour axes la tangente et la normale au point le plus bas,

dy il) ■ '"^

ay c

y =■ — a L cos

Il n'y a qu'une branche utile, symétrique par rapport à OY ; pour x=.o^ y est nul; elle croît jusqu'à l'infini pour