TZ / C
^ = - ai/ ; au delà y est d'abord imaginaire. Pour
rectifier la courbe, on a
ds = dx i / I -h tang* — 4 / -
Je pose -2^ =/i2, tang — — ,
, a(i-+-«*)*<i^ dz ^ ■ (n^ — \)zdz
*~J[(l — 4î2)2 4-4 ,12^2]-^^"" '*^(^24. 2^2 — l)2-4,lî(,l2__l)'
Pour ^ = o, on a
d'où la valeur compliquée de s
j V/n^— I , (22|2W2-+-2n\/Al2— l)(n-2n2— 2 7l\//l2 I )
S = ClLiZ H ûtLi y ■ — -— »
2^^ (^2|2n2 — ^n^n'i — ij(i 4-2^24-2/1/712— i)
Le poids a une expression plus simple, car il est égal à
= a/c(5r4-c)tang^i/-
qx.
Dans l'application numérique, considérons une portion du câble de i millimètre carré de section ; le poids de l'unité de longueur serait le poids de i centimètre cube de fer, o'^s^ooy^; la tension étant de 11 kilogrammes, a est égal à
= mètres. L'équation (I) doit être vérifiée
pour X = 5o™, j^ = I o™ ; c va être déterminé par l'équation
- 35o , /3oo -h c
Lcos 1/ = — 0,007.
Pour résoudre rigoureusement cette équation, il faudrait
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. lo5
passer au logarilhme décimal, chercher l'arc correspondant en fonction du rajon, et en déduire c; mais, comme l'arc est petit, en le désignant par w, on peut prendre
L cos w = u^j ce qui nous donne
I / 35 W 3oo\ / 3oo\ ^
Un mètre de câble ayant l'épaisseur de la chaîne au poinl le plus bas pèserait 28"^^, 7 ; il occuperait un volume
la section est donc 87 centimètres carrés.
On peut achever les calculs approchés sans recourir aux logarithmes. Calculons d'abord
i/^'"«ïi/ï
„£if52r,^i('52yii£^...i
80 35 / o,oi4\
Au point le plus haut, -j- est égal à y/ 1 + (0,402)2= 1,078^
la section de la chaîne sera de 4o centimètres carrés. Le poids de la chaîne sera
,a/c(3r-Hc)tang-^4/'
q -+■ c ia^c{^q -{- C)19M^ — 1/ 1003^
= X 28,7 X 0,402 — 3oooo = 2964*^.
Dans aucun cas, -i/- ne saurait atteindre - : il faut
toujours avoir
< - a ou a? < 2240".
I04 RECUEIL d'exercices
:r = - ai / ; au delà y est d'abord imaginaire. Pour
rectifier la courbe, on a
Je pose = Ai^, tang — =
a inz '
, ia(z^-\-i)dz d^ = ■; — :: r:: :: — r>
d — ^{^-^^^y^^ dz^^ (/i^ — \)zdz
Pour j? = o, on a
d'où la valeur compliquée de 5
Jn>— I (z^-hin^-h2n \/n^ — i)(i-4-2/i2— 2/1 i/ai^ — i ) «=aLz-^-î^ ah y ^) ^ ^*
2^^ (<32-|a/l2 — in^ 1V^ — I j(l -i- 2 /l2 + 2 /l //l2 — |)
Le poids a une expression plus simple, car il est égal à
= a/c(gr + c)tang^â/.
qx.
Dans l'application numérique, considérons une portion du câble de i millimètre carré de section ; le poids de l'unité de longueur serait le poids de i centimètre cube de fer, o'^Sj0077; la tension étant de 11 kilogrammes, a est égal à
= mètres. L'équation (I) doit être vérifiée
pour X = 5o™,^ = 10™ ; c va être déterminé par l'équation
- 35o , /3oo -4- c
L ces {/ = — 0,007,
Pour résoudre rigoureusement cette équation, il faudrait
psisser au logarilhme décimal, chercher l'arc correspon- 4a.xit en fonction du rajon, et en déduire c; mais, comme Vgtro est petit, en le désignant par m, on peut prendre
^ cosM = u^j ce qui nous donne
i / 35 W 3oo\ / 3oo\ ^.^
Un mètre de câble ayant l'épaisseur de la chaîne au poinl le plus bas pèserait 28"^, 7; il occuperait un volume
la section est donc 87 centimètres carrés.
On peut achever les calculs approchés sans recourir aux logarithmes. Calculons d'abord
/ o,oi4\
Au point le plus haut, ^ estégalày/i + (0,402)2= 1,078^
la section de la chaîne sera de 4o centimètres carrés. Le poids de la chaîne sera
,a/c(gr-+-c)tang-^4/
= X 28,7 X o,4o2 — Soooo = 2964^.
Dans aucun cas, - i/^ — ^ ne saurait atteindre - ; il faut
' ay c 2
toujours avoir
< - a ou a? < 2240".
73. Forme d'équilibre d'un fil homogène et pesant y posé sur la surface d'un cône droit dont Vaxe est vertical et le sommet en bas, (Vieille.)
En supposant le cône parfaitement poli, sa surface exerce sur chaque élément du fil qui la touche une réaction normale dont les composantes sont
— N-^, — N^rr-' N h ' V = v/a7«-+-^«-h^«tang*a;
a est le demi-angle au sommet du cône. On a les équations d'équilibre
d.T —j- = ^xds.
as V
dT^ = ^yds ds v-^ '
, rfj , N . ,
a.T-T- ^ p ds — ^ z tang'aas.
On en déduit
d:i=^pdz, T = p{z — a).
Multiplions la première par — ^, la seconde par j?, ajoutons et posons x = r cosQ, y = rsinO : nous aurons, en tenant compte de la valeur de T,
j rrl dy dx\ . ^ d9^
La Géométrie donne
z ^ r cot a, c/5* = r* û?0* h — 7—r- dr^ ;
sm^a
donc
(1) sinaû?0 =
r/r2(r cota — a)' — c^
Cette équation n'est pas généralement intégrable ; mais elle indique suffisamment la forme de la courbe qu'elle représente. Pour que T soit positif, il faut que z soit > a,
OU r> atanga; or, la quaDtîté soumise au radical (I), négative pour r = a tanga, s'annule en changeant de signe pour une valeur r^ supérieure à a tanga et r doit être ^Ti . Si / commence par croître, il augmentera indéfiniment ; sinon, il décroîtra jusqu'à r^ pour croître jusqu'à l'infini. La courbe, tangente au cercle de rajon Ti, a, de chaque côté du point de contact, des branches infinies. Je dis que ces branches ont des asymptotes passant parle centre; car, en supposant ^ = 0 pour r = Ti , quand r devient infini, 6 devient égal à
le dénominateur étant de l'ordre de H, 9| est fini. Quant à la distance du pôle à l'asymptote, c'est la limite de r^ -7pour/' infini, c'est-à-dire
,. c^rsina
/r2(r cota — a)* — c*
On peut intégrer (I) quand a = o\ le minimum de r est 'N = cy/tanga; si pour cette valeur 6 est nul, on aura
û . I c* tanffa „ c^ tansra
9 sm a = - arc cos r-^^— > r* = r-^ •
2 r» cos2(6sina)
Il est aisé d'en conclure que le fil suit la transformée d'une
hyperbole équilatère dont le demi-axe est - ^ , et
/sina cos a
dont le plan serait enroulé sur le cône, le centre de l'hyperbole étant au sommet du cône. Pour réaliser ce cas, supposons que les extrémités du fil soient attachées à des hauteurs égales, en des points pour lesquels r = /-', 0 = ± O'j et soit 2 / la longueur ; on doit avoir
.'î— c' tangg . cosa /''' r^dr
""ces 2 (6' sina)' ~ "^^ Jcy/^^[^>/r'^ coi^olT^^'*
Io8 RECUEIL D^EXERCICES
la première détermine c' cl la seconde / à l'aide d'une in légrale elliptique.
On peut encore intégrer (I) quand le polynôme sous 1 radical admet un facteur double; alors
4c'=«'tanga, r, = 5— fltanga
et
«*tangar/r
cosaf/0 =
r{jir — a tanga) s^[ir — atanga/ — 2a* tang'a '>.a a\ dr
2/-— atanga /•/ ^(^r — ^ tangaj- — aa'tang^ j
d ou
T a Jq. o.r-\- a tans^a
Ô ces a = — = arc ces arc ces =-^ — ;
^J1 2rcota — a ir^2,
quand r va de /'i à oo , 9 croit de -^ (y/s — i) stca.
Pour déterminer la pression exercée en chaque point su ^ le cône, ajoutons les équations d'équilibre multipliées res» pectivement par x,j', — z tang'a :
(II) :rû?.T-^-4-jû?.T^ — ztang*a6?.T-^=NV£?5—/?2tang»arfr
Or l'équation du cône donne
dx dr dz
ds -^ ds ^ ds '
d'où
dx dy ^ ^dz
xd-r — \-Yd—, z tang^art-—
ds ds ds
I / I dz^ \
ds^ ° ' \COS'a ds^ I
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. lOQ
Tenant compte de ces relations, on tire de (II)
NV = ;>.tang'a-(.-^g)T
, , r2sin«a^eî =-.p^ tangua — p(z — a) -r-r . . , — =77»
Remplaçons d^ par sa valeur générale en fonction de dt\ . z par rcot a, et V par : nous trouvons
N = DSina ,, ^— ^ — r
^ r^{r — atanga)
Pour r infini, N = /> sin a ; pour savoir s'il est positif tout le
long du fil, on cherche le signe du numérateur pour r=ri ;
mais ri{ri — a tanga) est égal à c^ tanga; le signe cherché
,est donc celui de r'f tanga — c^. Pour que N puisse devenir
négative, il faut et il suffit qu'en substituant Cy/tanga dans le premier membre de l'équation du second degré ^ui définit r< , on ait un résultat positif, ou
c(cota — tanga) — ay^langa > o.
Dans ce cas, une partie du fil tend à se séparer de la surface conique.
7i. Forme d'équilibre d^un fil dont chaque élément ^^^ soumis à une pression normale proportionnelle à sa distance à une droite donnée, en deux points de laquelle ^^^t fixées les extrémités du fiL Ce serait la forme ^^^ affecterait la section droite d'une surface cylindfique,fiexible, dont les bords seraient maintenus par 'deux tringles horizontales parallèles et dans laquelle ^^ aurait versé un liquide pesant, (H. Resal.)
Traitons rapidement ce problème pour donner un exemple de discussion de courbe définie seulement par des relations entre les coordonnées et un paramètre variable. Je
IIO RECUEIL D EXERCICES
prends pour axe des x l'horizon taie sur laquelle sont les extrémités du fiU Taxe des y étant dirigé vers le haut, et j'appelle a l'angle de la tangente avec l'axe des x. Le fil étant soumis à des forces normales, la tension est constante^ nous avons , en projetant sur la normale les forces qui sollicitent l'élément ds et observant que la courbe est évi- •demment plane,
Multiplions par sina, posons T = a*/7 et appelons P la valeur de a pour j' = o :
[p.] rt'sina^a=:— jsina^f zri — ydy\ y=z — a^2.(cos<x. — cosB),
d'où
asïnadx . , acosadoL
dy = -< d.r = cot cidy = —
\/2(cosa — cospj y2(cosa — cosp)
a {la
ds =
\/2(cosa — cospj
On ne pourrait avoir :r qu'à l'aide d'intégrales elliptiques-, mais on voit que, a croissant de zéro à j3, y \a constamment
en augmentant : il en est de même de x si (3 <^ -• Si
[3>>-» X augmente d'abord pour diminuer ensuite^ le
vase se rétrécit au sommet. J'appelle 2 c la distance des extrémités du fil, 2 a sa longueur, et j'ai entre P et « les équations
Ç^ . adoL r^ acosadoL
Jq ^2 (cosa — cos p ) Jq sJt. ( ços « — ces p )
Posons, pour transformer ces intégrales,
c()sai:=i — 2sm'-» cosp = i — 2sm'-? sm- rrr sm - smo,
d'où
I / I — sin' £ sin* cp
-|— ne contient que Tinconnue sin - p, et on la calcule
par approximation à l'aide de Tables des fonctions elliptiques complètes. Si Ton se donne P, on en déduira le
rapport — ,— ; soit p= -;-> on a
sin'cp
I ^'fi/i sin'cp = i,35i, — y — =1,40.
On voitque, dans les conditions du problème, le minimum de cest zéro; ^ est alors environ i3o degrés. Si ^ est plus
grand, quand a va de - à p, a: devient négatif, et le fil pré-
sente un point double au-dessous de l'axe des x ; si même on supposait ^ = ir, la courbe s'étendrait à l'infini et serait asymptote à l'axe des x. Pour obtenir toute la courbe définie par l'équation (2), il faudrait faire revenir a de ^ à zéro; mais, en changeant le signe du radical, on a une branche symétrique de la partie utile par rapport au point qui est sur l'axe des x] puis a va de zéro à — P? ^ redevient nul, et la courbe forme une suite illimitée de branches superposables. Enfin remarquons que nous n'avons pas
I 1 2 HECUEIL D EXERCICES
toutes ies courbes contenues dans l'équation (i), car i eût pu disposer des constantes d'intégration de manié que la courbe ne coupe pas OX.
75. Un fil élastique, homogène à Vétat naturel pesant, est placé sur une cycloïde dont Vaxe est ven cal, et la convexité tournée vers le haut; une extrémi est attachée au sommet, et l'autre, qui est libre, attei le point le plus bas; quelle est la longueur nature^ du fil, et la loi suivant laquelle varie la tension?
Prenons pour axes la tangente et la normale intérieu au sommet; la cycloïde est représentée par les équation:
a? = a(M -H sin m), y=a{} — cosu);
la longueur d'un élément est ds ^= 2acos- u du, et spoids de la forme
2 ap cos - udu : (i^-T^j^
Q est la tension qui doublerait la longueur naturelle l'élément. Projetons les forces qui le sollicitent sur la ta
gente, inclinée à l'horizon de -:
«T -+- TT = ap sm udu = 0.
Puisque T = o pour m = ic, on a l'intégrale
(Q-l-T)«= 2a/?Q(n-cosM)H-Q2, qui donne la loi de la tension ; quant au poids du fil, c'e
P = 1 ^ ^ cos -udu
r ^apqcos^udu . -. / 4a/>
— / = = 2 yap Q arc sm 1 / ^—pr
J^ V/Q« -+- 4 «/> Q cos» 1 w V 4«/> + Q
On en déduit la longueur naturelle en divisant par/?.
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. Il3
1. En deux points A, B donnés sur une horizontale et dont la distance est 2 m, sont fixées les extrémités d'un fil homogène pesant : quelle doit être la longueur il du fil pour que la tension en A et en B soit égale au poids du fil? Quel est alors Fangle a des tangentes extrêmes avec l'horizon?
l = -7 =i,o5i5/n, oL=-^'
2. Déterminer la longueur 2/ considérée ci-dessus de manière a rendre minimum la tension en A et B quand on donne la densité du fil.
û étant donné par l'équation
on a sensiblement a = o,4i68m, /= [,258m. (P. Jullien.)
5. Une extrémité d'un fil pesant, homogène, de longueur /, est fixée en un point O ; l'autre extrémité est soutenue par un anneau A, (ie poids négligeable, enfilé sur une tringle horizontale dépolie OX. Déterminer la plus petite valeur de OA pour laquelle l'anneau ne glissera pas.
C'est /tanfjroLcot -3>, o étant l'angle de frottement.
4. Un fil, dont chaque élément M est repoussé par un point 0 avec une force proportionnelle à sa masse et à la distance OM, décrit une circonférence qui passe en 0 : comment varie la den-
site du fil? — En raison inverse de OM .
^* Etant donnés trois axes rectangulaires dont l'un, OZ, est vertical, trouver la fiojure d'équilibre d'un fil dont une extrémité est d 1 origine et dont chaque élément ds a un poids égal k p dx ^^ ^st sollicité par une force \^x dx parallèle à OX, p et X* désignant des constantes. (A. Fuhrmann.)
'^S^=G, aX2y = CL^^t^, l'^z^^h^^^^-^pUa^-x^). * -^ a-x a a—x ^ ^ ^
Î>E S.-G. — Rec, 8
Il4 RECUEIL d'exercices
6. La figure d'équilibre d'un fil pesant est telle que sa tension en chaque point est inversement proportionnelle à sa courbure : déterminer cette figure et la loi de la densité en supposant que les extrémités du fil soient fixées en deux points donnés d'une horizontale et que son poids soit double de la tension au point le plus bas. (Caen, 1879.)
na étant la distance des extrémités, P le poids total, on trouve
-3 = — -^— L cos -;— j p = , /= — L(i-hV2);
Âa cos -—
la tension est aussi proportionnelle à p : chaînette d'égale résistance.
7. Équilibre d'un fil homogène dont chaque clément ds est attiré vers un point O par une force proportionnelle à rf* et 1° au carré, 11° au cube de sa distance au centre attractif.
La courbe est plane : on déduit des équations générales, en prenant des coordonnées polaires avec O pour pôle.
et
ds
8. Un élément quelconque MM' d'un fil non pesant est soumis à une force F, normale au plan qui passe par un point donné 0 et par
la direction de MM', et égale à -^ — . ^ : déterminer la
OM ligne U dessinée par le fil quand il est en équilibre (la loi de F est celle de l'action d'un aimant sur un courant). (G. Darboux.) En prenant 0 pour origine, OM = r, on a (I)
ds r^
7 T ^^y ^ '^^ — z dx
ds r^
j r^ dz y dx — X dy ds H
T est constante, U est une ligne géodésique du cône G ayant 0
pour sommel et U pour directrice. On déduit des deux dernières équations (i)
ds __ (y^-^ z^)ci,r — x(y dy -+- z dz) ^ r dx — x dr
de même;
— y dz — z dv X
ds r
^zd.r^x dz y
A • ~^ ~~~ ^~~ Cy • • • a
ds r
d'où
ax H- by H- €Z = r.
S i-'sl un cône de révolution, U la transformée d'une ligne droite.
iBarfr -■ —
Il6 RECUEIL D^EXERCICES
