ATTRACTION DES SYSTÈMES

Calcul direct de rattraction.

Pour calculer Tattraction d'une masse quelconque sur un point A, on n'a qu'à décomposer la masse attirante en éléments et à chercher la résultante de leurs actions par les règles de composition des forces concourantes. Soient ^, ^, z les coordonnées rectangulaires de A; x^j y^, Zi celles d'un élément attractif e//n à la distance w de A; f(u)dm la grandeur de son attraction ; on a, pour les projections de la force qui sollicite A,

X=2^^/(")^'^» ^ =^^^^^ Au) dm, Z = ....

Lorsque le corps attirant a des dimensions finies, on le traite dans le calcul comme une masse continue et on remplace les S par des intégrales étendues à tout le volume attirant.

Je rappelle un résultat très facile à établir, mais utile dans beaucoup de problèmes : quand l'attraction varie en raison directe de la distance, deux corps quelconques agissent l'un sur l'autre exactement comme si leurs masses étaient concentrées en leurs centres de gravité respectifs.

76. Attraction d^une couche sphérique homogène sur un point matériel.

Newton a démontré que, lorsque l'attraction est inversement proportionnelle au carré de la distance, une couche de densité constante, comprise entre deux sphères con-

centrîques, est sans action sur un point intérieur, et attire un point extérieur A comme si sa masse était concentrée en son centre O. M. Thomson a donné de cette seconde propriété une démonstration très simple.

Par raison de symétrie, l'attraction doit être dirigée suivant AO i^fig' 5), et, si nous partageons la couche en élé-

Fig. 5.

ments tels que rfm, au point M, l'attraction sera de la

forme

^ cosMAO.

am'

Pour former nos éléments d'une façon avantageuse, considérons le point B, conjugué de OA, tel que OAxOB=R2, et imaginons des cônes infiniment étroits dont le sommet est en B; l'un^d'eux, dirigé suivant BM, intercepte, dans une sphère de rayon i , la surface rfco et par suite, dans une sphère ajant aussi pour centre B, mais pour rayon BM,

Taire BM rfco ; mais cette sphère coupe la sphère donnée

sous l'angle BMO, et, comme elle est orthogonale au cône

considéré, celui-ci intercepte dans la sphère donnée un

élément BM rfco sécBMO. Si donc s est la densité de la

couche, il vient

A =// lie rfo) BM%éc BMO ^^i^^ ;

mais MOB, MOA sont semblables comme ayant l'angle O

Il8 RECUEIL d'exercices

commun compris entre côtés proportionnels; il en résulte

angle BMO = MAO, -r---= = -j^-r-, ^ AM OA

. ^^ OM , 47rR*eix mu. OA OA OA

La réciproque de la première proposition s'établit aisément; parmi les lois d'attraction qui ne dépendent que de la dislance, la loi de la nature est la seule pour laquelle une couche sphérique homogène quelconque est sans action sur un point intérieur B. La distance des points de la couche au point B varie entre BC etBC Soit donc /{u) dm l'attraction d'une masse dm à la distance u; on peut, dit M. Bertrand, choisir les dimensions BC, BC de telle manière que le produit u-f{u) varie dans le même sens que M, ou en sens contraire, pour les valeurs de u comprises entre BC et BC; admettons que les variations soient de même sens, et considérons simultanément l'action de M et celle de l'élément correspondant M' qui agit en sens opposé; d'après la valeur trouvée pour la masse de Télément M, la composante de son attraction suivant BC

est

BTT/T /(BM) cos MBC ;

cosBMO*^^ ^ '

celle de l'élément M' découpé par la seconde nappe du cône d(ù donne

-,..,^ /(BM') cosM'BG = iTâïTr /(J5M') cosMBG;

cos BM' O *^ ^ '^ cos BMO -^ '^ ^ '

mais BM', faisant avec BC un angle obtus, est ^ BM, el^ d'après l'hypothèse que nous avons dû faire,

BM' /(BM')>BM /(BM);

SUR LA. MÉCAlilQUE RATIONNELLE. I IQ

l'action dirigée vers BC l'emporte sur celle qui est dirigée vers BC, et, comme il en est de même pour tous les couples d'éléments dans lesquels se décompose la couche, le point B se trouverait attiré vers le centre. Il faut donc, pour qu'il n'y ait pas d'action,

Pour l'action sur un point extérieur, la réciproque n'est pas exacte.

77. Attraction d^une plaque elliptique homogène sur un point M situé dans son plan, en supposant V attraction de chaque élément égale au quotient de sa masse par sa distance au point M. (Caen, 1887.)

Le calcul rappellera le calcul bien connu de l'attraction d'un ellipsoïde, car, dans le plan, la loi actuelle d'attraction est celle qui donne les résultats les plus semblables à ceux de la loi de Newton dans Tespace.

Soient x^ y les coordonnées de M : celles dun point pris sur l'ellipse E qui limite notre surface attirante peuvent se mettre sous la forme ^H-wcosO, j^+wsinO et l'on a

(cos^ô sin*6\ , /arcos6 vsinO\ a?' r*

Lorsque M est intérieur à E, l'équation admet une racine positive u' et une négative — u" et l'on a, pour les composantes de l'attraction,

J/*'^ a?cos6 ^sin6

Lorsque M est extérieur à E, imaginons une ellipse E', d'axes 2 a' et 26', passant par M et homofocale à E : les composantes de son attraction sur un point M' ayant pour

CLX b v

coordonnées —7- > -fr sont

iTzb' ax iT.a! hy ^

mais le théorème qui correspond, dans le plan, à celui d'Ivory nous donne

et le calcul de a' et de V est bien connu.

78. Une droite rigide a ses extrémités A, B engagées dans des colliers fixes qui les empêchent de se déplacer; un point G attire chacune des parties de la droite suivant la loi newtonienne ; déterminer le point où la barre tend à se rompre, (Université de Cambridge; i854).

Soient H un point choisi arbitrairement sur AB, C0= c la perpendiculaire de C sur AB; a, — 6, A, ^ les abscisses de A, B, H et d'un point quelconque de la barre, l'origine étant en O ; P, Q les composantes normales des réactions qui s'exercent en A et B. La somme des moments de P, Q et des attractions par rapport au point H est nulle; mais, si l'on considère seulement les forces qui agissent sur la partie HA, ce sont elles qui tendent à rompre la droite en H, et cela avec une énergie proportionnelle à la somme de leurs moments. Cette somme est évidemment de la forme

"" c(x — h)dx

^ (c2-ha72)

Si l'on suppose que H coïncide avec B ou si Ton fait A= — 6, S doit être nulle, parce qu'elle comprendra les moments de toutes les forces qui agissent sur AB :

Tirons P, et nous aurons pour la valeur générale de S

o ^\ f-k TT c*-f-aA a — h / rj- c* — abW

égale à zéro -tt et Ton trouve, en réduisant,

Il faut avoir la valeur de h qui rend — S maximum 5 on

h y/g^ -4- c^ — \/b^ -h c'^ CA — CB

y/c2 ^- ^2 "" a H- 6 ~ AB '

CA^CB csin^(B— A)

v/âb'-(ca-cb)* /^â^î^

Soient D et G les pieds de la bissectrice et de la médiane issues du sommet G dans le triangle ABG : le segment OH, égal à A, est moyen proportionnel entre CD et OG, puisque Ton a

OG = c ^'"/^,'~.^) , OD = c tang|(B - A ). 2SinAsinB ^ ^^ '

79. Attraction d'un ellipsoïde homogène sur un point intérieur, V attraction étant inversement proportionnelle à la quatrième puissance de la distance.

Soient ^, JK> ^ les coordonnées du point attiré A, et

a'^ b^ c^ ~ l'équation de l'ellipsoïde. Posons iTi = a7 4- wcosO, j^i= jH- Msinô cos^', ^ = >5i-h wsinô sinip;

on peut écrire, pour les points à la surface de rellîpsoïde,

/rccosO rsinôcosd; ^sinOsini^N i \ a2 6' c^ I II

La composante de Tattraction suivant OX est

0 ne variant que de zéro à ~ > on doit, pour chaque valeur

de 0 et de t}^, faire varier u depuis zéro jusqu'à la racine positive u! de l'équation (i), et retrancher du résultat celui qu'on obtient en faisant varier u de zéro à la racine v!^ prise positivement. Pour éviter l'infini qui répondrait à w = o, on intégrera depuis une valeur très petite e jusqu'à v! ou jusqu'à — m"; on isole ainsi une sphère, évidemment sans action, ayant A pour centre et e pour rayon, et cette sphère peut être tout entière dans l'ellipsoïde quand A est intérieur; Tintégrale relative à u sera

Il e \ w e / u u

on a la somme des racines de l'équation (i) changées de signe et, en substituant, il vient

Y et Z s'obtiennent par analogie. C'est Lejeune-Dirichlet qui a remarqué la possibilité d'exprimer en quantités finies

l'attraction d'un ellipsoïde sur un point intérieur quand Pattraction est réciproque à une puissance 2 m de la distance, m étant un entier ^ i. L'attraction sur un point delà surface est infinie, et, pour un point extérieur, on la déduit du point intérieur à l'aide du théorème d'Ivory généralisé par Poisson.

Introduction du potentiel.

80. On sait que les trois composantes de l'attraction exercée sur un point sont les dérivées d'une même intégrale, qu'on appelle fonction potentielle, tant du moins que le point ne fait pas partie de la masse attirante. Soient F(m) une fonction dont la dérivée changée de signe, /{u)y exprime la loi d'attraction, et U = SF(w) dm; on a

ôx oy oz

Si, par le point attiré, on mène un arc infiniment petit ds^ dont les projections soient dx^ dy^ dz^ la composante de l'attraction suivant la direction ds sera

à\} dx d\5 dy d\} dz rfU

^e dernier quotient n'est pas une dérivée partielle, mais le rapport à ds de la différentielle de U répondant à ce déplacement du point ^, JK) ^•

Les surfaces sur lesquelles U est constant sont dites surfcices de /i^Ve^w; l'attraction en un quelconque de leurs points leur est normale.

81. Calculer Inaction d'un anneau sur un autre ^Itué dans le plan et à V intérieur du premier et passant par son centre; V attraction est en raison inverse du oube de la distance, (Walton).

Soient O et A les deux centres, R et a les rayons, e, e' les densités, M un élément de l'anneau attiré, 8 l'angle

124 hecueil d'exercices

MO A, en sorte que la masse de M soit aae'rfO; je pose

OM = aacos6 = r,

et je cherche la fonction potentielle de l'anneau attirant par rapport à l'élément M; ici F(w) = -^ et l'on a

U = fJiaRee'c?ô f

rfcp 27r(JLaRee'c?ô

K2-hr2— aRrcoscp R^— r*

L'attraction est dirigée suivant OM, et sa valeur -—- se

calcule sans difficulté. Ajoutant toutes ces attractions multipliées respectivement par cos8, on a pour leur résultante, dirigée suivant OA,

^ J cos*0(R2— 4a2-4-Rnang^0)2

Si l'on pose

R tango = v/it^ — 4»^ tangw, on trouve

F = j cos* t3i dtj) = .

(R2 4a«)2'^o (Rî — 4a*)*

82. Un point est en équilibre au centre d^un octaèdre régulier dont les six sommets, de masses égales, V attirent proportionnellement à la puissance n de la distance; déterminer les valeurs de npour lesquelles V équilibre est stable* {PdiVis^ 1864.)

J'écarte légèrement le point A de sa position d'équilibre, et je cherche si la force à laquelle il est soumis tend à le

rapprocher du centre O. Soient ^, j', z les coordonnées très petites du point A, a la distance de l'origine à un des

sommets; F (w) est ■ — w""*"*, et, si Ton pose /î4- 1=2/?,

x^-\-y^'\- Z'=z r^j on aura

-H (a»— lay -+- /-i )p |- . . . -+- (â2-+- 2a^ -h r')/».

On développe chacun des termes par la formule du binôme, la symétrie permettant d'abréger les calculs, et l'on trouve, en rapprochant les termes du même ordre de grandeur,

Les composantes de la force qui sollicite A se trouvent par une simple dérivation; on a, par exemple,

X=— =2|jia:a2/'-2l2/>H-i-i-(/> — i)(4/> — 5)^

4 (yr, -,)(/,- 2) (/? — 3)^2

Si 2/> -j- 1 >> o ou 71 >> — 2, X est de signe contraire à x, de même Y àjK, Z à ^, et le mobile est ramené vers l'origine; si n<i — 2, le mobile est tiré dans le sens opposé à l'origine, et l'équilibre est instable; pour 2/?= — i, /i=— 2, ou la loi newtonienne, le premier terme disparaît, et d faut avoir recours aux suivants :

cette expression pouvant être positive; le point s'éloigne déplus en plus dans certains cas, équilibre instable.