Propriétés fondamentales du potentiel

Quand rattraction s'exerce suivant la loi de Newton, la fonction U devient le potentiel proprement dit V : si nous faisons égale à Tunité l'attraction de l'unité de masse sur le point considéré M à la distance i , nous aurons

Le développement de la belle théorie du potentiel nous entraînerait trop loin et je ne m'arrêterai qu'aux deux propriétés fondamentales. La première consiste en ce que les

composantes de 1 attraction sont toujours égales ^ t-» t-»

— • Cette proposition s'établit sans difficulté quand le point

attiré M est extérieur à la masse attirante S : elle s'établit encore aisément quand M est intérieur à S, pourvu que cette masse soit homogène : il suffit de décomposer S en deux parties dont Tune est sphérique et contient M à son intérieur; le potentiel d'une sphère pour un point intérieur s'exprime algébriquement :

et l'on n'a plus à difl^érentier une intégrale dont quelques éléments peuvent devenir infinis. Pour le cas où e est variable, M. Jordan a donné une démonstration extrêmement simple {Cours d^ Analyse, II).

Décomposons S en deux parties dont l'une S^ renferme M; soit S2 la partie restante^ soient V<, V2 les potentiels de 84 etS2,Xi,X2les composantes de leurs attractions suivant OX. On a

X2 et -7-? sont égales, puisque M est extérieur à S2. Je dis

qu'on peut prendre S.| assez petit pour que X^ et -r-* soient

aussi petits que l'on voudra, ce qui démontrera la proposition. Prenons des coordonnées polaires u, 8, ^ dont M soitlepôleet décomposons Si en volumes infiniment petits dont la masse dm est égale à tu^ sinOrfQ M du ; soient a, §, Y les. cosinus directeurs de la droite allant de M à l'un de ces éléments : on a

le rayon r mené de M dans la direction a, p, y jusqu'à la surface qui limite S< a un maximum p; si dans la valeur deX, on remplace a par i , e par son maximum Ç, on trouve, pour limite supérieure de X<, 4^??) qu'on peut rendre aussi petit qu'on voudra en réduisant suffisamment les dimensions de S<. Remarquons que /^Tz^p est une limite supérieure de la somme arithmétique des attractions exercées par tous les éléments de S<.

Menons maintenant dans S< une droite MM' égale à h et parallèle à OX et soient V'^ le potentiel de S^ par rapport à M', Uy a' les distances d'un élément dm à M et à M' : on a

"T- = lim — î— r — ^ = lim -^ 2 ( — , ) dm = lira 2 —, j- dm:

^x h h \u uj huu

mais on a en valeur absolue

donc

uu i\u^ u'^

dWi ^ 1 „ dm 1 „ dm

dx 1 u^ 1 u'^

et chacune de ces sommes est aussi petite que l'on veut d'après la remarque qui termine l'alinéa précédent.

En second lieu, le paramètre différentiel du second ordre

est égal à zéro quand M est extérieur à S (Laplace), à — ^TztQ quand M est en un point de S où la densité est So (Poisson). On démontre bien facilement le théorème de Laplace et, quand S est homogène, celui de Poisson ; je vais déduire celui-ci de la première propriété de V en supposant que la densité e au point oc^y y^^ z^ de S varie avec

dz dz dt ^ ^ . , ,

x^yy\^Z\^rtidiisc\ae -x — > ^ — ? j- restent unies et déterminées. On a, en tenant compte des valeurs de X, Y, Z,

^ dx oy dz

Je puis exprimer X à Taide d'une intégrale de la forme (i), Y et Z par des intégrales analogues, en prenant pour la limite /• le ravon vecteur mené de M dans la direction a, p, Y jusqu'à la surface T qui limite S. Ces intégrales, ne contenant pas d'éléments infinis, peuvent être différentiées par rapport k x^y^ z: les limites de 0 et de tj; étant fixes, on traitera ces quantités, ainsi que a, p, y, comme des constantes dans la différenliation. Mais r el e sont fonctions de x^ y, Z] en effet, on a pour la loi de la densité dans S

(3) £ = F(a7i, 71, zi) = F(a?-4-aw, y-^-^u, z-h-^u), et, pour l'équation de T,

(4) ?(^i, yu ^i) = îp(:rH-ar, j-f-^r, z-h-(r)= o. L'équation (2) nous donne

(5) A2V= rrsinOrfO^'^f a~ f cdu-h^-^ f edu-h..

Soient £^ la densité a ;ï point M, £, la âen<ile à Tevlr-:mile Ju ra\on vecteur r njecr diziy la d.revîion i, i, • , on a

^-/ z.dLi = i I — ^:;

Le coefficient de siniciS «ii dans S e^t donc tc.ïî à

or ^ .r cr

ox cr ' oz ; ^' jjr ■ .^>- * cz

Mais, r élant une fonction de x, i*. r dêtînie par iVi|iialion < 4 1) on a

dr ^r ÎT -,. .T --

et le coefficient de £, dans K est égal à — i ; on lire aussi

de (3^

OQ aura donc

= -'-'- i :^du^-tt-t.-t,= -t,.

A2V=— £i / / sinfididl = — ^-i:

*■ V * ti