Théorème de Lejeune-Dirichlcl
Quand la masse attirante S est finie, V et ses dérivées du premier ordre sont finis et continus; il est facile de voir que si la distance /* du point M à l'origine devient
munie, V est infiniment petit de Tordre de -> — » ^— * - -
* r 0x 0y oz
de l'ordre de — • Dirichlet a montré que si une fonction V
^^»/) 5 satisfait à ces conditions et, en outre, aux équations de La place et de Poisson, elle coïncide avec V. Posons
De S.-G. — Rer. 9
l3o RECUEIL d'exercices
V — V = W et considérons l'intégrale
étendue à tout l'espace intérieur à une sphère Q décrite de l'origine comme centre avec un très grand rayon r; tous ses éléments sont nuls, car W est fini et A2W, différence de A2 V et de A2 V, qui sont partout égaux, s'annule constamment. Mais, en intégrant une fois par parties, on a
— j dxdydz,
le coefficient de dy dz étant la différence des valeurs que prend W -r— aux deux points de rencontre de la sphère Q avec la parallèle à OX le long de laquelle on a intégré ; est de la forme — > \ ayant une valeur finie, et si \ est une moyenne entre les valeurs de X, on aura
TtXj
P étant nul, on peut conclure des résultats précédents et de ceux qui se rapporteraient aux deux autres parties de P qu'on a l'identité
Xi-^fX|-{-V,
En faisant grandir r au delà de toute limite, on voit que le second membre est tout au plus égal à une quantité qui tend vers zéro; il doit donc être rigoureusement nul aussi bien que le premier et cela exige qu'on ait, pour tous les
SL'R LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. l3l
points de l'espace,
dx "^ dy ~^ dz '~ ^ dx '~ dx ày '~ dy dz "~ dz'
V et V ne peuvent différer que par une constante, et, comme ils s'annulent tous deux à l'infini, cette constante est nulle.
80. Composer les attractions exercées, suivant la loi de Newton, par les divers points d^un anneau k. sur un très petit anneau B; les deux anneaux sont homogènes, leurs centres coïncident et leurs plans font entre eux un angle a.
Il est facile de voir, par des raisons de symétrie, que les forces appliquées aux divers points du petit anneau se réduisent à un couple dont l'axe L est dirigé suivant l'intersection des deux plans. Prenons pour axe des x la partie de cette droite qui est dirigée vers le nœud ascendant, l'axe des^ étant dans le plan du grand anneau. Soient x^ y, z les coordonnées d'un élément dm de B, r et R les rayons de B et de A, £ la densité de A : le potentiel de A par rapport à dm est
•''^ \i.dmKtd^
/r* — iK{x cosîp -^y sincp)
on en déduit, en ne prenant que la partie principale de chaque élément,
Y ~ T^li^dm Y __ T^lJ-^dm __ iTzii.zdm ^— Rï~"^' R»~~-^' R2 ^'
j ^ ' rr V. tt^useV^ sina cosa L= 2(^Z~;îY) =-3—^^ g^
= — - uM/n jrr sinacosa.
Le plan de B tend à se rapprocher de celui de A.
iSa RECUEIL d'exercices
86. Un ellipsoïde donné E renferme une certaine quantité de matière douée d'un pouvoir attractif suivant la loi de Newton: chercher suivant quelle loi doit varier la densité de la masse attirante pour que toutes les surfaces de niveau correspondant à son attraction soient des ellipsoïdes homofocaux à E. Cette loi une fois déterminée^ calculer la grandeur de V attraction en un point quelconque, (Agrégation, i883).
Il suffira de connaître la valeur de A2V pour en déduire celle de la densité en un point quelconque. Soient 2a, 2^, 2C les axes de E : par tout point de Tespace, on peut mener trois surfaces homofocales à E, définies par les équations
.rî
lA
où nous supposons X << c^ << [jl << ^^ < v < «^ ; )^, [Ji., v forment un système de coordonnées elliptiques. Si l'un quelconque des ellipsoïdes (1), déterminé par la valeur de X, est une surface de niveau sur laquelle le potentiel a une grandeur constante, V ne dépend que de X et Ton a
dx" dX dx^ àx^ ~' d\^ \àx) ~^ dk àx^ '
De la seconde équation et des deux équations analogues on conclut, en employant les notations bien connues de Lamé,
A,v=— AfX+A,X.
Posons, pour abréger,
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. l33
nous aurons, en différent î an t deux fois Téquatlon (i),
aî-X P2 dx 2 4a: aX I d^\ 7. /d\y
aî X (a«— X)2 àx pî (^07*
1 /dxy
de ces équations et de celles que fournit la différentiation par rapport à^ et à >5 on tire
AfX = 4P», A,X =-2P«f-^ + —I— -H -^~V On a donc
La quantité entre crochets est une fonction de A, que je représenterai par — 7tF();); le théorème de Poisson donne silors, pour la densité en un point quelconque,
Si l'on divise la région intérieure à E en couches infinirncnt minces par une série d'ellipsoïdes homofocaux, la densité en un point quelconque M d'une couche est égale a^i produit d'un paramètre F(X), arbitrairement choisi pour chaque couche, par P^, c'est-à-dire par le carré de la dislance de l'origine au plan tangent en M à l'un des ellipsoïdes E' qui limitent la couche. L'épaisseur rfa de la couche
^n ce point est — — ^ ou rr : donc la densité aux di-
'^ AiÀ 2P
"Perses régions d'une couche varie en raison inverse du ^^iré de son épaisseur. La masse de la couche est égale à ^^lle qui serait comprise entre E' et un ellipsoïde homo-
^*^^tique, le rapport de similitude étant i ^ ^^ ^^ ^^^"
sité ayant partout la valeur );F();); cette masse est donc
l34 RECUEIL d'exercices
Si Ton intègre cette expression en faisant varier à depuis c^ jusqu'à zéro, on doit obtenir toute la masse attirante, ce qui restreint Findétermination de F.
Il convient d'exprimer P^ en fonction de X, [jl, v : un calcul suffisamment connu donne
P* AfX (a«— X)* " («2— X)(62— X)(c2— X)
La loi de la densité aux différents points de la masse attirante comporte une grande indétermination, puisqu'on peut choisir FÇk) d'une manière presque complètement arbitraire; mais, une fois le choix fait, l'attraction est bien déterminée. Nous avons posé, à la suite de l'équation (3),
c'est une équation linéaire du premier ordre en -jr- , dont la valeur prend la forme
^= = A -f- Tc r F(X)rfXv^(a2 X)(6« — X)(c»-
d\ /(aî-X)(62-X)(cî-X)L A
L'attraction en un point quelconque est dirigée suivant la normale à l'ellipsoïde homofocal à E qui passe en ce point et si, à un déplacement dcL sur cette normale correspond une variation rfV, la grandeur de l'attraction sera (n° 80)
j^^rfV ^ rfV rfX ^__ prfV " da " d\ da "^ d\
A+ic Ç F(X)ca/(a»— X)(i! — X)(c>— X>
A.U centre, X est égal à c^ et R nul à cause de la symétrie; la constante A doit être nulle et Ton a
V/(JJL-X)(V-X)A
L'attraction est toujours dirigée vers Tintérieur des ellipsoïdes ; pour un point intérieur à E, elle ne dépend pas de la masse comprise entre E et Tellipsoïde homofocal qui passe au point considéré ; donc celte masse est sans action sur un point placé dans son intérieur; enGn, dans la région extérieure à E, R varie en raison inverse
de v/(|Ji — )^)(v->r).
1. Montrer qu'un segment de droite homogène AB, doué d'un pouvoir attractif suivant la loi de Newton, attire un point M comme le ferait un arc de cercle décrit, dans le plan MAB, tangentiellement à AB, avec M pour centre et limité aux droites MA et MB; la densité de l'arc est la même que celle de la droite.
2. Déterminer la position d'équilibre d'un point attiré suivant la loi de Newton par tous les éléments du périmètre d'un triangle supposé homogène. C'est le centre du cercle inscrit.
3. Déterminer la forme d'un solide homogène S, de masse et de densité données, pour que l'attraction qu'il exerce suivant la loi de Newton sur un point 0 soit maximum ; comparer cette attraction à celle d'une sphère, de masse et de densité égales, sur un point de sa surface.
OX étant la direction de l'attraction totale, la composante suivant OX de l'action exercée par une masse dm placée en un point quelconque de la surface de S doit être la même ; l'équation de cette surface r^ = a^ cos6 : l'attraction de S est à celle de la sphèr
4. Attraction newtonienne exercée sur le pôle par Taire comprise entre le cercle /• = asina et la lemniscate r^ = la^ cosi^
Elle est de la forme ul ( L cot - a — cosa
