MOUVEMENT D'UN POINT MATERIEL

Vitesse et accélération.

87. Nous allons rappeler quelques résultats relatifs à la vitesse et à l'accélération. Un mouvement qui n'est pas défini par des formules analytiques connues peut être utilement représenté au moyen d'une courbe : prenons des abscisses x = at^ des ordonnées jk = cs^ s étant le chemin parcouru au temps t^ a la longueur qui représente l'unité de temps, c le rapport par lequel sont multipliés les espaces : on a la courbe représentative des espaces ; la vitesse est égale à - -~ ; l'accélération tangentielle

c dx

dt^ ~~ T dx^'

or ^ est l'inverse du paramètre p de la parabole oscu-

latrice à la courbe figurative et dont l'axe est parallèle à OY. Dans l'appareil du général Morin pour étudier la cnute des corps, la courbe est elle-même une parabole,

^ = R(o, c = I , et l'accélération est

L^ accélération totale y €st égale au carré de la vitesse divisé par la demi-^orde gu^ elle-même intercepte dans fe cercle osculateur de la trajectoire.

On sait qu'elle est dirigée dans le plan osculateur et que

iSS RECUEIL D EXERCICES

sa projection sur la normale principale est — ; soit / l'angle de Y avec la normale : on a

— =YCOSl, Y= :• G. Q. F. D.

p * ' pcosi

Considérons la parabole décrite par un projectile dont la vitesse horizontale est a ; la vitesse à un moment quelconque

est — .7 puisque son angle avec Thorizontale est égal à

celui de la normale et de l'accélération, toujours verticale : la corde interceptée dans le cercle osculateur en un point quelconque par la direction de la pesanteur, c'est-à-dire

par le diamètre correspondant, est donc -7- Au som-

met où f = o, cette corde est égale à 2/?; donc, en un

point quelconque M, elle est égale à — ~ ou à quatre fois

la distance de M au foyer. La projection du rajon de courbure en un point d'une parabole sur le diamètre correspondant est égale au double de la distance focale. (Maclaurin).

Dans le mouvement d'un point libre, la force motrice et l'accélération dépendent si simplement l'une de l'autre que la plupart des questions se rattachent aussi bien à la Dynamique qu'à la Cinématique. Je traiterai ici les problèmes où l'on étudie un mouvement connu a priori, et je renverrai à la Dynamique la recherche du mouvement produit par une force donnée, ou, ce qui est la même chose, correspondant à une accélération connue. Rappelons les formules qui donnent les composantes de la vitesse et de l'accélération en coordonnées polaires.

Soient, dans le plan, r le rayon vecteur, 9 son angle avec l'axe polaire; les projections de la vitesse sur le rayon vecteur et sur une perpendiculaire sont — et r--j-; on les

SUR LA MÉCANIQUE RATiOITNELLE. 1 3g

appelle vitesses de glissement et de circulation : Icui' résultante est la vitesse. Les projections de l'accéléralion totale sont, sur le rayon vecteur,

d'r fdoy

suj:* la perpendiculair(î,

__ I ^/ / ^dB

Dans l'espace, appelons /• le rayon vecteur, Q son angle

av^ec une droite fixe OZ, ^ l'angle du plan méridien mené

par OZ et le point avec un plan méridien fixe, et projetons :

1** sur le rayon vecteur ; 2° sur la normale extérieure au cône

droit d'angle 6-, 3° sur la perpendiculaire élevée au plan

méridien du côté où i^f augmente; nous aurons, pour l'js

projections de la vitesse,

dr dO . dé

pom: les projections de l'accélération,

d^r dB^ . ^d^'

' dt^ di* dt*

i d / dQ\ . , ^d^*

' r dt\ dtj dt^

I d I , dA^\ ' rsme dt\ dtJ

Ces projections ont pour résultante soit la vitesse, soit l'accélération.

82. Étant donnés (Jig. 7) deux axes rectangulaires, ^^ point M situé d'abord sur l'axe des x se meut de telle sorte que son ordonnée et l* angle de son rayon vecteur

I^O RECUEIL d'exercices

avec OX croissent proportionnellement au temps, et que le mobile vienne sur OY à la distance a de V origine; trouver la trajectoire, la vitesse en chaque point, l'aclération et le rayon de courbure.

L'équation de la trajectoire en coordonnées polaires

s*oblienl immédiatement; l'angle décrit par le rayon vecteur étant - quand l'ordonnée est a, on a

, 2aG

d ou r=r — ; — -• TTSinG

C'est la quadratrice de Dinostrate : le rayon vecteur est d'à-

'i Ci

bord — î et il croît jusqu'à devenir infini pour 6 = ir; il y

a une asymptote (j^= 2 a), puis une branche allant de cette asymptote à l'asymptote j^ = 4^? et ainsi de suite.

Soit (ù la vitesse angulaire du rayon vecteur : la projection de la vitesse de M sur une perpendiculaire à ce rayon est wOM; sa projection sur OY est

clt

la dB

TT de

wOB.

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. l4l

On n'a pas ainsi deux composantes de la vitesse; mais si, en M, on mène une perpendiculaire sur OM égale à wOM, une parallèle à OY égale à wOB, et si, aux extrémités de ces droites, on leur élève des perpendiculaires, celles-ci se coupent en un point V tel que MV = ç^; la figure ainsi formée a ses lignes perpendiculaires et proportionnelles à celles du quadrilatère birectangle OMCB; il en résulte que la vitesse en M est égale à wOG, et perpendiculaire à OC; sa direction est celle de la tangente à la quadratrice.

L'accélération est parallèle à Taxe des x',otûo = — 9 cot 6 :

donc

Y = -TTT = r-rK(^COie — l) = :— -^ ( —x).

Menons CH parallèle à OX : l'angle MCH est le complément de 9 et Ton a

sin6 \ ir / sin^ô \ ir /'

Y = — 2w2HG.

On a une représentation géométrique de Faccélération, et l'on en peut déduire le rayon de courbure de la quadratrice. La corde interceptée par la direction de l'accélération dans le cercle de courbure est, comme on l'a dit (87),

en faisant l'angle COE égal à CHO ; d'ailleurs CO est parallèle à la normale en M; donc la perpendiculaire DE sur EC coupera CO en un point D tel, que CD sera égale au diamètre du cercle osculateur en M. En B, la valeur de y

est ■ ^^ > et l'on trouve p = - OB.

Sir ^ '1

La quadratrice n'est pas reclifîable, mais l'aire AOB peut se calculer au moyen d'intégrations par parties :

■7:2 Jq sin*u TU

89. Un point parcourt avec une vitesse constante v une lemniscate de Bernoulli ; trouver son accélération et les composantes de cette accélération suivant les rayons vecteurs issus des deux foyers : centre de courhure de la trajectoire.

Étant donnés {fig. 7) deux foyers F, Y ^ dont la distance est 2 a, la lemniscate est le lieu des points M tels que

Fiç. 7.

MF.MF^ = a^. Prenons pour axe des x et des j^ FF| et la perpendiculaire en son milieu O ; l'équation de la courbe sera

Je désignerai par des lettres accentuées les dérivées par rapport au temps. Comme on a x^'^-\- y^^z:^ v'^^ il vient

yy -'- XX

On est conduit à calculer xx- -^-yy elyx^ — xy : si l'on

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. l43

dîfférentie réquatîon (i), on en couclut

/ \/a:''-hy'

)r(.r'-i-r'-^«') ;r(.i'-.r»-j^) ±ûV^'"-+-7'

^x' + jrj' yx' — xy ~ ~'îà'xy~ ■" |(j:»-4-j^ '

Je suppose le sens du mouvement tel que le radical doive être précédé du signe +, et je tire de ces formules

>^ Cl

y-jc" — xy" =1 l^xx' -\- y y' ) y/.c' H- y' .

Les premières équations en x" ^y" donnent alors // 3 cr' ,— ,, 3 vx' , .

On en conclut

Mais, si Ton remplace x^ et y par leurs valeurs tirées des équations (2), et si l'on fait MF = r, MF4 = r<, on a

/pï f-j« H- a' = -(/-îH-/-;), 4aa7=rf — r*, tti = a*,

^= ? îlf (a« — or» — r2) = 7 ^ [4 «^^ — 2 (a?2 ^ y2 ^ a»)a7]

L'accélération totale peut se décomposer en deux autres

-— , - — » suivant MF et MF< ; faisons un parallélogramme 4 r 4/'i r D

l44 RECUEIL d'exercices

sur MA = MF et MB = MF, ; la diagonale MG est dirigée

suivant la normale, puisque l'accélération est centripète.

3 V' On a vu Y = — - OM ; le ra^on de courbure est donc

Y 3 OM 3 ^ ' en supposant l'angle EF, O = 0| MF.

90. Quand un mobile se meut dans un plan et que son accélération totale est constamment dirigée vers le centre de courbure de la développée de la trajectoire, Caire comprise entre un rayon de courbure fixe, un rayon variable et Carc de la développée correspondant croit proportionnellement au temps. (Nicolaïdès).

Soient ds l'arc infiniment petit parcouru par le mobile à partir d'une position M, p le rayon de courbure correspondant ; la différentielle de l'aire considérée est - p ds. et il s'agit de prouver qu'elle est égale à dt multiplié par une constante. Supposons -r. positif; il faut que le centre de

courbure de la développée soit, par rapport à la normale en M, du même côté que ds] l'arc infiniment petit de la développée est égal à — rfp ; son angle de contingence, égal

à celui de la courbe, est — ; son rayon de courbure est

pi = — ~- • Soient y^ et y^ l'accélération tangentielle et l'accélération centripète : on aura

d'où

Ï£ = £l P^^ — __ ff ?

Yc ~" p ' v^dt~ ds'

dp dv ds . ,

~ H =0, va = o-r- =c, pds =:cdt,

p V ^ ^ dt ^ ^

Si -3- <; o, c'est dans le premier membre de la seconde formule (i) qu'on aie signe — ; mais la suite est identique.